Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Thể tích vật thể tạo thành khi quay tứ diện $ACB'D'$ quanh trục là đường thẳng qua $AC$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{2}}{6}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
Ta có $ACB'D'$ là tứ diện đều cạnh $a\sqrt{2}$.
Do tính chất của tứ diện đều nên khi quay tứ diện quanh cạnh $AC$ thì ta được vật thể tạo thành từ hai khối nón có bán kính đường tròn đáy bằng $B'O=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ và độ dài đường sinh là $CB'=a\sqrt{2}$, đường cao $CO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\Rightarrow $ Thể tích vật thể là:
$V=2.\dfrac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h=2.\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{2}}{6}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
Ta có $ACB'D'$ là tứ diện đều cạnh $a\sqrt{2}$.
Do tính chất của tứ diện đều nên khi quay tứ diện quanh cạnh $AC$ thì ta được vật thể tạo thành từ hai khối nón có bán kính đường tròn đáy bằng $B'O=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ và độ dài đường sinh là $CB'=a\sqrt{2}$, đường cao $CO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\Rightarrow $ Thể tích vật thể là:
$V=2.\dfrac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h=2.\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án D.