Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng ${A}'C$ và mặt phẳng $\left( AB{C}'{D}' \right)$. Khi đó.
A. $\tan \alpha =\sqrt{3}$.
B. $\tan \alpha =1$.
C. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
D. $\tan \alpha =\sqrt{2}$.
Gọi I là trung điểm của ${A}'C$. Ta có: $AC{C}'{A}';AB{C}'{D}'$ là các hình chữ nhật.
Nên $A{C}';{A}'C;B{D}'$ cắt nhau tại $I\Rightarrow {A}'C\cap \left( AB{C}'{D}' \right)=I$.
Gọi O là tâm của hình vuông $AD{D}'{A}'\Rightarrow {A}'O\bot A{D}' \left( 1 \right)$
Lại có: $AB\bot \left( ADD'A' \right)\Rightarrow {A}'O\bot AB. \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có ${A}'O\bot \left( AB{C}'{D}' \right)$.
$\Rightarrow \left( {A}'C;\left( AB{C}'{D}' \right) \right)=\widehat{{A}'IO}$.
Gọi cạnh hình lập phương là a.
Tam giác ${A}'IO$ vuông tại O có: ${A}'O=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};OI=\dfrac{1}{2}{D}'{C}'=\dfrac{a}{2}$.
$\tan \widehat{{A}'IO}=\dfrac{{A}'O}{OI}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{a}{2}}=\sqrt{2}$.
A. $\tan \alpha =\sqrt{3}$.
B. $\tan \alpha =1$.
C. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
D. $\tan \alpha =\sqrt{2}$.
Gọi I là trung điểm của ${A}'C$. Ta có: $AC{C}'{A}';AB{C}'{D}'$ là các hình chữ nhật.
Nên $A{C}';{A}'C;B{D}'$ cắt nhau tại $I\Rightarrow {A}'C\cap \left( AB{C}'{D}' \right)=I$.
Gọi O là tâm của hình vuông $AD{D}'{A}'\Rightarrow {A}'O\bot A{D}' \left( 1 \right)$
Lại có: $AB\bot \left( ADD'A' \right)\Rightarrow {A}'O\bot AB. \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có ${A}'O\bot \left( AB{C}'{D}' \right)$.
$\Rightarrow \left( {A}'C;\left( AB{C}'{D}' \right) \right)=\widehat{{A}'IO}$.
Gọi cạnh hình lập phương là a.
Tam giác ${A}'IO$ vuông tại O có: ${A}'O=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};OI=\dfrac{1}{2}{D}'{C}'=\dfrac{a}{2}$.
$\tan \widehat{{A}'IO}=\dfrac{{A}'O}{OI}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{a}{2}}=\sqrt{2}$.
Đáp án D.