Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có thể tích $V$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $B{B}'$ sao cho $MB=2M{B}'$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và vuông góc với $A{C}'$ cắt các cạnh $D{D}'$, $DC$, $BC$ lần lượt tại $N, P, Q$. Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích của khối đa diện $CPQMN{C}'$. Tính tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}$.
A. $\dfrac{31}{162}$.
B. $\dfrac{35}{162}$.
C. $\dfrac{34}{162}$.
D. $\dfrac{13}{162}$.
Gọi cạnh hình lập phương bằng $a$.
Do mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và vuông góc với $A{C}'$ nên $\left( \alpha \right)$ || $BD$. Trong mặt phẳng $\left( BD{D}'{B}' \right)$ kẻ $MN$ song song $BD$, $N\in D{D}'$.
Ta có $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $A{C}'$ nên $\left( \alpha \right)$ || ${B}'C$. Trong $\left( BC{C}'{B}' \right)$ kẻ $MQ$ || ${B}'C$, $Q\in BC$.
Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ kẻ $PQ$ || $BD$, $P\in DC$. Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $MNPQ$.
Theo cách dựng ta có $BQ=2QC, DP=2PC, DN=2N{D}'$.
Gọi $H$ là điểm trên $C{C}'$ sao cho $CH=2H{C}'$. Khi đó ta có ${{V}_{CPQMN{C}'}}={{V}_{{C}'.MHN}}+{{V}_{CQP.MHN}}$.
Xét hình chóp ${C}'.MHN$ ta có ${C}'H=\dfrac{a}{3}$, ${{S}_{\Delta MHN}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$. Suy ra ${{V}_{{C}'.MHN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{18}=\dfrac{V}{18}$.
Xét hình chóp cụt $CQP.MHN$ ta có ${{V}_{CQP.MHN}}={{V}_{I.MHN}}-{{V}_{I.CQP}}=\dfrac{1}{3}.\left( IH.{{S}_{\Delta MHN}}-IC.{{S}_{\Delta CQP}} \right)$
${{V}_{CQP.MHN}}=\dfrac{1}{3}.\left( a.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}-\dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{3}a \right)=\dfrac{13}{81}{{a}^{3}}=\dfrac{13V}{81}$.
Vậy ${{V}_{CPQMN{C}'}}={{V}_{{C}'.MHN}}+{{V}_{CQP.MHN}}=\dfrac{V}{18}+\dfrac{13V}{81}=\dfrac{35V}{162}$.
A. $\dfrac{31}{162}$.
B. $\dfrac{35}{162}$.
C. $\dfrac{34}{162}$.
D. $\dfrac{13}{162}$.
Do mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và vuông góc với $A{C}'$ nên $\left( \alpha \right)$ || $BD$. Trong mặt phẳng $\left( BD{D}'{B}' \right)$ kẻ $MN$ song song $BD$, $N\in D{D}'$.
Ta có $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $A{C}'$ nên $\left( \alpha \right)$ || ${B}'C$. Trong $\left( BC{C}'{B}' \right)$ kẻ $MQ$ || ${B}'C$, $Q\in BC$.
Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ kẻ $PQ$ || $BD$, $P\in DC$. Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $MNPQ$.
Theo cách dựng ta có $BQ=2QC, DP=2PC, DN=2N{D}'$.
Gọi $H$ là điểm trên $C{C}'$ sao cho $CH=2H{C}'$. Khi đó ta có ${{V}_{CPQMN{C}'}}={{V}_{{C}'.MHN}}+{{V}_{CQP.MHN}}$.
Xét hình chóp ${C}'.MHN$ ta có ${C}'H=\dfrac{a}{3}$, ${{S}_{\Delta MHN}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$. Suy ra ${{V}_{{C}'.MHN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{18}=\dfrac{V}{18}$.
Xét hình chóp cụt $CQP.MHN$ ta có ${{V}_{CQP.MHN}}={{V}_{I.MHN}}-{{V}_{I.CQP}}=\dfrac{1}{3}.\left( IH.{{S}_{\Delta MHN}}-IC.{{S}_{\Delta CQP}} \right)$
${{V}_{CQP.MHN}}=\dfrac{1}{3}.\left( a.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}-\dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{3}a \right)=\dfrac{13}{81}{{a}^{3}}=\dfrac{13V}{81}$.
Vậy ${{V}_{CPQMN{C}'}}={{V}_{{C}'.MHN}}+{{V}_{CQP.MHN}}=\dfrac{V}{18}+\dfrac{13V}{81}=\dfrac{35V}{162}$.
Đáp án B.