Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng a, điểm M là trung điểm cạnh BC và I là tâm hình vuông $C\text{D{D}'}{C}'$. Mặt phẳng $\left( AMI \right)$ chia khối lập phương thành hai khối da diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm D có thể tích là V. Khi đó giá trị của V bằng
A. $V=\dfrac{7}{36}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{22}{29}{{a}^{3}}$
C. $V=\dfrac{7}{29}{{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{29}{36}{{a}^{3}}$
A. $V=\dfrac{7}{36}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{22}{29}{{a}^{3}}$
C. $V=\dfrac{7}{29}{{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{29}{36}{{a}^{3}}$
Nối $AM\cap CD=E$ cắt $C{C}', \text{D{D}'}$ lần lượt tại H, F
Do đó mặt phẳng $\left( AMI \right)$ cắt khối lập phương theo thiết diện là tứ giác AMHF
Gọi ${{V}_{0}}$ là thể tích khối đa diện chứa $D\Rightarrow {{V}_{0}}={{V}_{MHC.\text{AFD}}}={{V}_{E.AFD}}-{{V}_{E.MHC}}$
Suy ra ${{V}_{0}}=\dfrac{ED.DF.AD}{6}-\dfrac{EC.CH.CM}{6}$
Ta có $\Delta ABM=\Delta ECM\Rightarrow MC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2};CE=AB=a$
Lại có $\Delta ECH-\Delta EKI\to \dfrac{HC}{IK}=\dfrac{EC}{EK}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow HC=\dfrac{a}{3}; FD=\dfrac{2a}{3}$
Vậy ${{V}_{0}}=\dfrac{2a.\dfrac{2a}{3}.a}{6}-\dfrac{a.\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{2}}{6}=\dfrac{7{{a}^{3}}}{36}\to V={{a}^{3}}-{{V}_{0}}={{a}^{3}}-\dfrac{7{{a}^{3}}}{36}=\dfrac{29{{a}^{3}}}{36}$.
Do đó mặt phẳng $\left( AMI \right)$ cắt khối lập phương theo thiết diện là tứ giác AMHF
Gọi ${{V}_{0}}$ là thể tích khối đa diện chứa $D\Rightarrow {{V}_{0}}={{V}_{MHC.\text{AFD}}}={{V}_{E.AFD}}-{{V}_{E.MHC}}$
Suy ra ${{V}_{0}}=\dfrac{ED.DF.AD}{6}-\dfrac{EC.CH.CM}{6}$
Ta có $\Delta ABM=\Delta ECM\Rightarrow MC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2};CE=AB=a$
Lại có $\Delta ECH-\Delta EKI\to \dfrac{HC}{IK}=\dfrac{EC}{EK}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow HC=\dfrac{a}{3}; FD=\dfrac{2a}{3}$
Vậy ${{V}_{0}}=\dfrac{2a.\dfrac{2a}{3}.a}{6}-\dfrac{a.\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{2}}{6}=\dfrac{7{{a}^{3}}}{36}\to V={{a}^{3}}-{{V}_{0}}={{a}^{3}}-\dfrac{7{{a}^{3}}}{36}=\dfrac{29{{a}^{3}}}{36}$.
Đáp án D.