Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng $a=1.$ Một
đường thẳng $d$ đi qua đỉnh ${D}'$ và tâm $I$ của mặt bên $BC{C}'{B}'.$ Hai điểm
$M,N$ thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ và $\left( ABCD \right)$ sao
cho trung điểm $K$ của $MN$ thuộc đường thẳng $d$ (tham khảo hình vẽ).
Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ là
A. $M{{N}_{\min }}=1.$
B. $M{{N}_{\min }}=\dfrac{1}{2}.$
C. $M{{N}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$
D. $M{{N}_{\min }}=\dfrac{1}{3}.$
Cho $a=1.$ Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ.
Tính được $A\left( 0;0;0 \right),{D}'\left( 1;0;1 \right),B\left( 0;1;0 \right),{C}'\left( 1;1;1 \right),I$
Là trung điểm $B{C}'\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{D'I}=\left( -\dfrac{1}{2};1;-\dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}\left( 1;-2;1 \right)$
Đường thẳng ${D}'I$ đi qua ${D}'\left( 1;0;1 \right),$ có một VTCP là
$\overrightarrow{u}\left( 1;-2;1 \right)$ có phương trình là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-2t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right). $ Mặt phẳng $ \left( ABCD \right) $ $ :z=0, $ mặt phẳng $ \left( BC{C}'{B}' \right):y=1. $ Vì $ M\in \left( BC{C}'{B}' \right)\Rightarrow M\left( m;1;n \right),K\in {D}'I\Rightarrow K\left( 1+t;-2t;1+t \right)$
$K$ là trung điểm $MN\Rightarrow N\left( 2t-m+2;-4t-1;2t-n+2 \right).$ Mà $N\in \left( ABCD \right)$
$\Leftrightarrow {{z}_{N}}=0\Leftrightarrow 2t-n+2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{n-2}{2}\Rightarrow N\left( n-m;3-2n;0 \right).$
$\overrightarrow{MN}=\left( n-2m;2-2n;-n \right)\Rightarrow M{{N}^{2}}={{\left( n-2m \right)}^{2}}+{{\left( 2-2n \right)}^{2}}+{{n}^{2}}={{\left( n-2m \right)}^{2}}+5{{n}^{2}}-8n+4$
$={{\left( n-2m \right)}^{2}}+5{{\left( n-\dfrac{4}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{4}{5}\ge \dfrac{4}{5}\Rightarrow MN\ge \dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$ Dấu bằng xảy ra khi $n=\dfrac{4}{5}$ và $m=\dfrac{2}{5}.$
đường thẳng $d$ đi qua đỉnh ${D}'$ và tâm $I$ của mặt bên $BC{C}'{B}'.$ Hai điểm
$M,N$ thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ và $\left( ABCD \right)$ sao
cho trung điểm $K$ của $MN$ thuộc đường thẳng $d$ (tham khảo hình vẽ).
Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ là
A. $M{{N}_{\min }}=1.$
B. $M{{N}_{\min }}=\dfrac{1}{2}.$
C. $M{{N}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$
D. $M{{N}_{\min }}=\dfrac{1}{3}.$
Cho $a=1.$ Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ.
Tính được $A\left( 0;0;0 \right),{D}'\left( 1;0;1 \right),B\left( 0;1;0 \right),{C}'\left( 1;1;1 \right),I$
Là trung điểm $B{C}'\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{D'I}=\left( -\dfrac{1}{2};1;-\dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}\left( 1;-2;1 \right)$
Đường thẳng ${D}'I$ đi qua ${D}'\left( 1;0;1 \right),$ có một VTCP là
$\overrightarrow{u}\left( 1;-2;1 \right)$ có phương trình là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-2t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right). $ Mặt phẳng $ \left( ABCD \right) $ $ :z=0, $ mặt phẳng $ \left( BC{C}'{B}' \right):y=1. $ Vì $ M\in \left( BC{C}'{B}' \right)\Rightarrow M\left( m;1;n \right),K\in {D}'I\Rightarrow K\left( 1+t;-2t;1+t \right)$
$K$ là trung điểm $MN\Rightarrow N\left( 2t-m+2;-4t-1;2t-n+2 \right).$ Mà $N\in \left( ABCD \right)$
$\Leftrightarrow {{z}_{N}}=0\Leftrightarrow 2t-n+2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{n-2}{2}\Rightarrow N\left( n-m;3-2n;0 \right).$
$\overrightarrow{MN}=\left( n-2m;2-2n;-n \right)\Rightarrow M{{N}^{2}}={{\left( n-2m \right)}^{2}}+{{\left( 2-2n \right)}^{2}}+{{n}^{2}}={{\left( n-2m \right)}^{2}}+5{{n}^{2}}-8n+4$
$={{\left( n-2m \right)}^{2}}+5{{\left( n-\dfrac{4}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{4}{5}\ge \dfrac{4}{5}\Rightarrow MN\ge \dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$ Dấu bằng xảy ra khi $n=\dfrac{4}{5}$ và $m=\dfrac{2}{5}.$
Đáp án C.