Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( A{B}'{D}' \right)$ và $\left( B{C}'D \right)$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Ta có ${B}'{D}'//BD$ và $A{B}'//D{C}'$. Suy ra $\left( A{B}'{D}' \right)//\left( B{C}'D \right)$.
Gọi $O,{O}'$ lần lượt là tâm hình vuông ABCD và ${A}'{B}'{C}'{D}'$. Kẻ $OH\bot A{O}'$.
Ta có ${B}'{D}'\bot O{O}'$ và ${B}'{D}'\bot AC$ nên ${B}'{D}'\bot OH$.
Do đó $OH\bot \left( A{B}'{D}' \right)$. Suy ra $d\left( \left( A{B}'{D}' \right),\left( B{C}'D \right) \right)=d\left( O,\left( A{B}'{D}' \right) \right)=OH$
Xét tam giác $OA{O}'$ vuông tại O ta có $O{O}'=2,OA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
Suy ra $OH=\dfrac{O{O}'.OA}{\sqrt{O{{{{O}'}}^{2}}+O{{A}^{2}}}}=\dfrac{2.\sqrt{2}}{\sqrt{4+2}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Cách khác: Sử dụng công thức nhanh $d\left( \left( A{B}'{D}' \right),\left( B{C}'D \right) \right)=\dfrac{1}{3}{A}'C=\dfrac{1}{3}2\sqrt{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Gọi $O,{O}'$ lần lượt là tâm hình vuông ABCD và ${A}'{B}'{C}'{D}'$. Kẻ $OH\bot A{O}'$.
Ta có ${B}'{D}'\bot O{O}'$ và ${B}'{D}'\bot AC$ nên ${B}'{D}'\bot OH$.
Do đó $OH\bot \left( A{B}'{D}' \right)$. Suy ra $d\left( \left( A{B}'{D}' \right),\left( B{C}'D \right) \right)=d\left( O,\left( A{B}'{D}' \right) \right)=OH$
Xét tam giác $OA{O}'$ vuông tại O ta có $O{O}'=2,OA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
Suy ra $OH=\dfrac{O{O}'.OA}{\sqrt{O{{{{O}'}}^{2}}+O{{A}^{2}}}}=\dfrac{2.\sqrt{2}}{\sqrt{4+2}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Cách khác: Sử dụng công thức nhanh $d\left( \left( A{B}'{D}' \right),\left( B{C}'D \right) \right)=\dfrac{1}{3}{A}'C=\dfrac{1}{3}2\sqrt{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Đáp án D.