Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng $1$. Tính khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( BD{A}' \right)$.
A. $d=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $d=\sqrt{3}$.
C. $d=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $d=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AO \\
& BD\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow BD\bot \left( A{A}'O \right)$
Suy ra $\left( BD{A}' \right)\bot \left( A{A}'O \right)$.
Kẻ $AH\bot {A}'O$ $\Rightarrow AH\bot \left( BD{A}' \right)$.
Suy ra $AH=d\left( A, \left( BD{A}' \right) \right)$.
Xét tam giác $A{A}'O$ vuông tại $A$ có $A{A}'=1$, $AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $AH=\dfrac{A{A}'.AO}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{O}^{2}}}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $d\left( A, \left( BD{A}' \right) \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
A. $d=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $d=\sqrt{3}$.
C. $d=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $d=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AO \\
& BD\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow BD\bot \left( A{A}'O \right)$
Suy ra $\left( BD{A}' \right)\bot \left( A{A}'O \right)$.
Kẻ $AH\bot {A}'O$ $\Rightarrow AH\bot \left( BD{A}' \right)$.
Suy ra $AH=d\left( A, \left( BD{A}' \right) \right)$.
Xét tam giác $A{A}'O$ vuông tại $A$ có $A{A}'=1$, $AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $AH=\dfrac{A{A}'.AO}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{O}^{2}}}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $d\left( A, \left( BD{A}' \right) \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án C.