Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh bằng 2. Thể tích $V$ của khối bát diện đều có các đỉnh nằm trên các cạnh $BC,{A}'{D}',{A}'{B}',A{A}',CD,C{C}'$ (như hình vẽ) bằng
A. $\dfrac{9}{2}$.
B. $\dfrac{6\sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
D. $3$.
Do các mặt của bát diện đều là 1 tam giác đều nên chắn các góc đỉnh C và đỉnh A' những đoạn bằng nhau bằng $x$, đoạn còn lại bằng $2-x$.
Đặt $A'M=x\ \left( 0<x<2 \right)$. Gọi $M,\ N,\ P,\ Q,\ R,\ S$ lần lượt là các đỉnh của bát diện nằm trên các cạnh $A'D',\ A'B',\ CD,\ CC',\ A'A,BC$.
Ta có $MN=x\sqrt{2}$, $MQ=\sqrt{2{{\left( 2-x \right)}^{2}}+4}$. Do $MN=MQ\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=2{{\left( 2-x \right)}^{2}}+4\Leftrightarrow 4x=6\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$.
Ta có ${{V}_{MNPQRS}}=2{{V}_{MNPQR}}=\dfrac{2}{3}.d\left( M,\left( NPQR \right) \right).{{\left( x\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{2}{3}\dfrac{x\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}.2{{x}^{2}}=\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}=\dfrac{4}{3}{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{9}{2}$.
A. $\dfrac{9}{2}$.
B. $\dfrac{6\sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
D. $3$.
Do các mặt của bát diện đều là 1 tam giác đều nên chắn các góc đỉnh C và đỉnh A' những đoạn bằng nhau bằng $x$, đoạn còn lại bằng $2-x$.
Đặt $A'M=x\ \left( 0<x<2 \right)$. Gọi $M,\ N,\ P,\ Q,\ R,\ S$ lần lượt là các đỉnh của bát diện nằm trên các cạnh $A'D',\ A'B',\ CD,\ CC',\ A'A,BC$.
Ta có $MN=x\sqrt{2}$, $MQ=\sqrt{2{{\left( 2-x \right)}^{2}}+4}$. Do $MN=MQ\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=2{{\left( 2-x \right)}^{2}}+4\Leftrightarrow 4x=6\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$.
Ta có ${{V}_{MNPQRS}}=2{{V}_{MNPQR}}=\dfrac{2}{3}.d\left( M,\left( NPQR \right) \right).{{\left( x\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{2}{3}\dfrac{x\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}.2{{x}^{2}}=\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}=\dfrac{4}{3}{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{9}{2}$.
Đáp án A.