Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh bằng 1. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B{B}'$. Mặt phẳng $\left( M{A}'D \right)$ cắt cạnh $BC$ tại $K$. Thể tích của khối đa điện ${A}'{B}'{C}'{D}'MKCD$ bằng:
A. $\dfrac{7}{24}$.
B. $\dfrac{7}{17}$.
C. $\dfrac{1}{24}$.
D. $\dfrac{17}{24}$.
Ta có ${{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}=1.1.1=1$.
Gọi $d$ là đường trung bình đi qua $M$ của $\Delta BC{B}'$. Suy ra $d \text{//} {B}'C$. Suy ra $d \text{//} {A}'D$ do cùng song song với ${B}'C$. Suy ra $d\subset \left( M{A}'D \right)$. Do đó $K=d\cap BC$ hay $K$ là trung điểm $BC$.
Suy ra ${{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}>{{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'DC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\dfrac{1}{2}$. Do vậy chọn đáp án D. $\dfrac{17}{24}$ .
Trong trường hợp có nhiều hơn 1 đáp án lớn hơn $\dfrac{1}{2}$. Ta tiến hành tính thể tích khối ${A}'{B}'{C}'{D}'MKCD$ như sau:
Cách 1: ${{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}={{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'DC}}+{{V}_{D.{A}'{B}'M}}+{{V}_{D.{B}'MKC}}$
${{V}_{D.{A}'{B}'M}}=\dfrac{1}{3} . DA . {{S}_{{A}'{B}'M}}=\dfrac{1}{3} . 1 . \dfrac{1}{2} . 1 . \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$
${{V}_{D.{B}'MKC}}=\dfrac{1}{3} . DC . {{S}_{{B}'MKC}}=\dfrac{1}{3} . DC . \dfrac{3}{4} . {{S}_{B{B}'C}}=\dfrac{1}{3} . 1 . \dfrac{3}{4} . \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$
Vậy ${{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{17}{24}$.
Cách 2: ${{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}={{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{V}_{MBK.{A}'AD}}$
${{V}_{MBK.A'AD}}=\dfrac{1}{3} . AB . \left( {{S}_{{A}'AD}}+{{S}_{MBK}}+\sqrt{{{S}_{{A}'AD}}.{{S}_{MBK}}} \right)=\dfrac{1}{3}. 1 . \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}+\sqrt{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{8}} \right)=\dfrac{7}{24}$
Vậy ${{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}=1-\dfrac{7}{24}=\dfrac{17}{24}$.
A. $\dfrac{7}{24}$.
B. $\dfrac{7}{17}$.
C. $\dfrac{1}{24}$.
D. $\dfrac{17}{24}$.
Gọi $d$ là đường trung bình đi qua $M$ của $\Delta BC{B}'$. Suy ra $d \text{//} {B}'C$. Suy ra $d \text{//} {A}'D$ do cùng song song với ${B}'C$. Suy ra $d\subset \left( M{A}'D \right)$. Do đó $K=d\cap BC$ hay $K$ là trung điểm $BC$.
Suy ra ${{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}>{{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'DC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\dfrac{1}{2}$. Do vậy chọn đáp án D. $\dfrac{17}{24}$ .
Trong trường hợp có nhiều hơn 1 đáp án lớn hơn $\dfrac{1}{2}$. Ta tiến hành tính thể tích khối ${A}'{B}'{C}'{D}'MKCD$ như sau:
Cách 1: ${{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}={{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'DC}}+{{V}_{D.{A}'{B}'M}}+{{V}_{D.{B}'MKC}}$
${{V}_{D.{A}'{B}'M}}=\dfrac{1}{3} . DA . {{S}_{{A}'{B}'M}}=\dfrac{1}{3} . 1 . \dfrac{1}{2} . 1 . \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$
${{V}_{D.{B}'MKC}}=\dfrac{1}{3} . DC . {{S}_{{B}'MKC}}=\dfrac{1}{3} . DC . \dfrac{3}{4} . {{S}_{B{B}'C}}=\dfrac{1}{3} . 1 . \dfrac{3}{4} . \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$
Vậy ${{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{17}{24}$.
Cách 2: ${{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}={{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{V}_{MBK.{A}'AD}}$
${{V}_{MBK.A'AD}}=\dfrac{1}{3} . AB . \left( {{S}_{{A}'AD}}+{{S}_{MBK}}+\sqrt{{{S}_{{A}'AD}}.{{S}_{MBK}}} \right)=\dfrac{1}{3}. 1 . \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}+\sqrt{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{8}} \right)=\dfrac{7}{24}$
Vậy ${{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}=1-\dfrac{7}{24}=\dfrac{17}{24}$.
Đáp án D.