Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABC\text{D}\text{.{A}'{B}'{C}'{D}'}$ có diện tích tam giác $AC\text{{D}'}$ bằng ${{a}^{2}}\sqrt{3}$. Tính thể tích V của khối lập phương.
A. $V=8{{\text{a}}^{3}}$
B. $V=2\sqrt{2}{{\text{a}}^{3}}$
C. $V=4\sqrt{2}{{\text{a}}^{3}}$
D. $V={{\text{a}}^{3}}$
Gọi hình lập phương có độ dài cạnh x.
Ta có: $AC=B\text{D}=x\sqrt{2}$ ;
${D}'O=\sqrt{D{{{{D}'}}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\sqrt{D{{{{D}'}}^{2}}+\dfrac{B{{D}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{2{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{x\sqrt{6}}{2}$.
Theo giả thiết ta có:
${{S}_{AC\text{{D}'}}}={{a}^{2}}\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AC.O\text{{D}'}={{a}^{2}}\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.x\sqrt{2}.\dfrac{x\sqrt{6}}{2}={{a}^{2}}\sqrt{3}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}$.
Vậy ${{V}_{ABC\text{D}.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={{x}^{3}}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
A. $V=8{{\text{a}}^{3}}$
B. $V=2\sqrt{2}{{\text{a}}^{3}}$
C. $V=4\sqrt{2}{{\text{a}}^{3}}$
D. $V={{\text{a}}^{3}}$
Gọi hình lập phương có độ dài cạnh x.
Ta có: $AC=B\text{D}=x\sqrt{2}$ ;
${D}'O=\sqrt{D{{{{D}'}}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\sqrt{D{{{{D}'}}^{2}}+\dfrac{B{{D}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{2{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{x\sqrt{6}}{2}$.
Theo giả thiết ta có:
${{S}_{AC\text{{D}'}}}={{a}^{2}}\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AC.O\text{{D}'}={{a}^{2}}\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.x\sqrt{2}.\dfrac{x\sqrt{6}}{2}={{a}^{2}}\sqrt{3}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}$.
Vậy ${{V}_{ABC\text{D}.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={{x}^{3}}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Đáp án B.