Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABC\text{D}.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, CD và P là điểm trên cạnh $B{B}'$ sao cho $BP=3P{B}'$. Mặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai khối lần lượt có thể tích ${{V}_{1}},{{\text{V}}_{2}}$. Biết khối có thể tích ${{V}_{1}}$ chứa điểm A. Tính tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$.
A. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{4}$
B. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{71}$
C. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{8}$
D. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{96}$
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình lập phương là ngũ giác MNHPK (như hình vẽ).
Khi đó ta có: ${{V}_{1}}={{V}_{P.BIJ}}-\left( {{V}_{K.AMJ}}+{{V}_{H.CIN}} \right)$ (*).
Ta có: DMN là tam giác vuông cân tại D.
Suy ra: $\Delta \text{AMJ},\Delta CIN$ đều là tam giác vuông cân.
Đặt $AB=2\text{a}$, khi đó: $\text{AJ}=AM=CN=CI=a$ và $PB=\dfrac{3\text{a}}{2}$.
$\dfrac{K\text{A}}{PB}=\dfrac{J\text{A}}{JB}=\dfrac{a}{3\text{a}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow KA=\dfrac{1}{3}PB=\dfrac{a}{2}$.
Khi đó $HC=KA=\dfrac{a}{2}$.
Suy ra:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{K.\text{AMJ}}}+{{V}_{H.CIN}}=2{{V}_{K.\text{AMJ}}}=2.\dfrac{1}{6}.AK.\text{AJ}.AM=2.\dfrac{1}{6}.\dfrac{a}{2}.a.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{6} \\
& {{V}_{P.B\text{IJ}}}=\dfrac{1}{6}.BP.BI.BJ=\dfrac{1}{6}.\dfrac{3a}{2}.3\text{a}.3\text{a}=\dfrac{9{{\text{a}}^{3}}}{4} \\
\end{aligned} \right.\left( 2* \right)$
Thay (2*) vào (*) ta được: ${{V}_{1}}=\dfrac{9{{\text{a}}^{3}}}{4}-\dfrac{{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{25{{\text{a}}^{3}}}{12}$
$\Rightarrow {{V}_{2}}={{V}_{ABC\text{D}.{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{V}_{1}}=8{{\text{a}}^{3}}-\dfrac{25{{\text{a}}^{3}}}{12}=\dfrac{71{{\text{a}}^{3}}}{12}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{71}$.
A. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{4}$
B. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{71}$
C. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{8}$
D. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{96}$
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình lập phương là ngũ giác MNHPK (như hình vẽ).
Khi đó ta có: ${{V}_{1}}={{V}_{P.BIJ}}-\left( {{V}_{K.AMJ}}+{{V}_{H.CIN}} \right)$ (*).
Ta có: DMN là tam giác vuông cân tại D.
Suy ra: $\Delta \text{AMJ},\Delta CIN$ đều là tam giác vuông cân.
Đặt $AB=2\text{a}$, khi đó: $\text{AJ}=AM=CN=CI=a$ và $PB=\dfrac{3\text{a}}{2}$.
$\dfrac{K\text{A}}{PB}=\dfrac{J\text{A}}{JB}=\dfrac{a}{3\text{a}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow KA=\dfrac{1}{3}PB=\dfrac{a}{2}$.
Khi đó $HC=KA=\dfrac{a}{2}$.
Suy ra:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{K.\text{AMJ}}}+{{V}_{H.CIN}}=2{{V}_{K.\text{AMJ}}}=2.\dfrac{1}{6}.AK.\text{AJ}.AM=2.\dfrac{1}{6}.\dfrac{a}{2}.a.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{6} \\
& {{V}_{P.B\text{IJ}}}=\dfrac{1}{6}.BP.BI.BJ=\dfrac{1}{6}.\dfrac{3a}{2}.3\text{a}.3\text{a}=\dfrac{9{{\text{a}}^{3}}}{4} \\
\end{aligned} \right.\left( 2* \right)$
Thay (2*) vào (*) ta được: ${{V}_{1}}=\dfrac{9{{\text{a}}^{3}}}{4}-\dfrac{{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{25{{\text{a}}^{3}}}{12}$
$\Rightarrow {{V}_{2}}={{V}_{ABC\text{D}.{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{V}_{1}}=8{{\text{a}}^{3}}-\dfrac{25{{\text{a}}^{3}}}{12}=\dfrac{71{{\text{a}}^{3}}}{12}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{71}$.
Đáp án B.