Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABC\text{D}.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng ${A}'C$ và mặt phẳng $\left( AB{C}'{D}' \right)$. Khi đó:
A. $\tan \alpha =\sqrt{3}$
B. $\tan \alpha =1$
C. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D. $\tan \alpha =\sqrt{2}$
Gọi $O={A}'C\cap B\text{{D}'}\Rightarrow O={A}'C\cap \left( AB{C}'{D}' \right)$
Gọi $H={A}'D\cap A\text{{D}'}$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot \left( AD{D}'{A}' \right)\Rightarrow AB\bot {A}'H \\
& {A}'H\bot A{D}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'H\bot \left( AB{C}'{D}' \right)$
$\Rightarrow $ HO là hình chiếu của ${A}'O$ trên $\left( AB{C}'{D}' \right)$.
$\Rightarrow \widehat{\left( {A}'C,(AB{C}'{D}') \right)}=\widehat{\left( {A}'O,HO \right)}=\widehat{{A}'OH}=\alpha $.
Không mất tính tổng quát, ta đặt cạnh của hình lập phương bằng 1.
Xét tam giác vuông ${A}'OH$ vuông tại H có:
$\left\{ \begin{aligned}
& OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} \\
& {A}'H=\dfrac{1}{2}{A}'D=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \tan \widehat{{A}'OH}=\tan \alpha =\dfrac{AH}{OH}=\sqrt{2}$.
A. $\tan \alpha =\sqrt{3}$
B. $\tan \alpha =1$
C. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D. $\tan \alpha =\sqrt{2}$
Gọi $O={A}'C\cap B\text{{D}'}\Rightarrow O={A}'C\cap \left( AB{C}'{D}' \right)$
Gọi $H={A}'D\cap A\text{{D}'}$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot \left( AD{D}'{A}' \right)\Rightarrow AB\bot {A}'H \\
& {A}'H\bot A{D}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'H\bot \left( AB{C}'{D}' \right)$
$\Rightarrow $ HO là hình chiếu của ${A}'O$ trên $\left( AB{C}'{D}' \right)$.
$\Rightarrow \widehat{\left( {A}'C,(AB{C}'{D}') \right)}=\widehat{\left( {A}'O,HO \right)}=\widehat{{A}'OH}=\alpha $.
Không mất tính tổng quát, ta đặt cạnh của hình lập phương bằng 1.
Xét tam giác vuông ${A}'OH$ vuông tại H có:
$\left\{ \begin{aligned}
& OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} \\
& {A}'H=\dfrac{1}{2}{A}'D=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \tan \widehat{{A}'OH}=\tan \alpha =\dfrac{AH}{OH}=\sqrt{2}$.
Đáp án D.