Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $A^{\prime} B$ và mặt phẳng $\left(B B^{\prime} D^{\prime} D\right)$. Tính $\sin \alpha$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Ta có: $B=A^{\prime} B \cap\left(B B^{\prime} D^{\prime} D\right)$.
$
\left\{\begin{array}{l}
A^{\prime} O \perp B^{\prime} D^{\prime} \\
A^{\prime} O \perp B B^{\prime} \\
B B^{\prime} \cap B^{\prime} D^{\prime}=B^{\prime} \\
B B^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime} \subset\left(B B^{\prime} D^{\prime} D\right)
\end{array} \Rightarrow A^{\prime} O \perp\left(B B^{\prime} D^{\prime} D\right) .\right.
$
$B O$ là hình chiếu vuông góc của $A B^{\prime}$ lên $\left(B B^{\prime} D^{\prime} D\right)$ nên $\left.\left(A^{\prime} B, \widehat{\left(B D D^{\prime} B^{\prime}\right.}\right)\right)=\left(A^{\prime} B, B O\right)$.
Suy ra $\alpha=\widehat{A^{\prime} B O}$ (do $\triangle B A^{\prime} O$ vuông tại $O$ ).
Ta có: $A^{\prime} B=a \sqrt{2}, A^{\prime} O=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$. Suy ra $\sin \alpha=\dfrac{A^{\prime} O}{A^{\prime} B}=\dfrac{1}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
$
\left\{\begin{array}{l}
A^{\prime} O \perp B^{\prime} D^{\prime} \\
A^{\prime} O \perp B B^{\prime} \\
B B^{\prime} \cap B^{\prime} D^{\prime}=B^{\prime} \\
B B^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime} \subset\left(B B^{\prime} D^{\prime} D\right)
\end{array} \Rightarrow A^{\prime} O \perp\left(B B^{\prime} D^{\prime} D\right) .\right.
$
$B O$ là hình chiếu vuông góc của $A B^{\prime}$ lên $\left(B B^{\prime} D^{\prime} D\right)$ nên $\left.\left(A^{\prime} B, \widehat{\left(B D D^{\prime} B^{\prime}\right.}\right)\right)=\left(A^{\prime} B, B O\right)$.
Suy ra $\alpha=\widehat{A^{\prime} B O}$ (do $\triangle B A^{\prime} O$ vuông tại $O$ ).
Ta có: $A^{\prime} B=a \sqrt{2}, A^{\prime} O=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$. Suy ra $\sin \alpha=\dfrac{A^{\prime} O}{A^{\prime} B}=\dfrac{1}{2}$.
Đáp án D.