Cho hình lăng trụ tứ giác $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy là hình...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tứ giác

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đáy là hình thoi cạnh

a,

\hat{B A D} = 120^{\circ} .

Biết

\hat{A^{'} B A} = \hat{C^{'} A^{'} C} = 90^{\circ},

góc giữa hai mặt phẳng

(A^{'} A D)

và

(A B B^{'} A^{'})

bằng

α

với

\tan α = \sqrt{2} .

Tính thể tích khối lăng trụ

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} .

A.

\sqrt{2} a^{3}

.
B.

a^{3}

.
C.

\frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}

.
D.

\frac{a^{3}}{3}

Gọi

M, N

lần lượt là trung điểm của

B^{'} C^{'}, B C

.

\hat{A^{'} B A} = \hat{C^{'} A^{'} C} = 90^{\circ} \Rightarrow A^{'} B = A^{'} C \Rightarrow A^{'} N ⊥ B C (1)

.
Theo bài ra

\hat{B A D} = 120^{^{\circ}} \Rightarrow Δ A^{'} B^{'} C^{'}, Δ A B C

đều

\Rightarrow B C ⊥ A N (2)

.
Từ

(1), (2) \Rightarrow B C ⊥ (A A^{'} M N) \Rightarrow (A A^{'} M N) ⊥ (B C C^{'} B^{'})

Kẻ

A^{'} P ⊥ (B B^{'} C^{'} C) \Rightarrow P \in M N

. Gọi

Q

là hình chiếu vuông góc của

A^{'}

lên

B B^{'}

.

\Rightarrow ((A^{'} A D), (A A^{'} B^{'} B)) = ((B B^{'} C^{'} C), (A A^{'} B^{'} B)) = \hat{A^{'} Q P} = α .

\tan α = \frac{A^{'} P}{Q P} = \sqrt{2} \Rightarrow A^{'} P = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \Rightarrow A^{'} Q = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A^{'} B = a \sqrt{3}

\Rightarrow A^{'} B = a \sqrt{3} \Rightarrow B B^{'} = 2 a

.

B B^{'} C^{'} C

là hình chữ nhật

\Rightarrow V_{A^{'} A B C C^{'} B^{'}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot 2 a \cdot a = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}

.

\Rightarrow V_{A^{'} \cdot B B^{'} C^{'}} = V_{B \cdot A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} \Rightarrow V = 6 \cdot V_{B \cdot A^{'} B^{'} C^{'}} = 6 \cdot \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} = a^{3} \sqrt{2}

.

Đáp án A.

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình...