Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tứ giác $ABCD.{A}'{B}'{C}'D'$ có đáy là hình thoi cạnh $a,$ $\widehat{BAD}={{120}^{\circ }}.$ Biết $\widehat{A'BA}=\widehat{C'A'C}={{90}^{\circ }},$ góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'AD \right)$ và $\left( ABB'A' \right)$ bằng $\alpha $ với $\tan \alpha =\sqrt{2}.$ Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'D'.$
A. $\sqrt{2}\ {{a}^{3}}$.
B. ${{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}\ {{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $B'C',BC$.
$\widehat{A'BA}=\widehat{C'A'C}={{90}^{\circ }}\Rightarrow A'B=A'C\Rightarrow A'N\bot BC\ \left( 1 \right)$.
Theo bài ra $\widehat{BAD}={{120}^{{}^\circ }}\Rightarrow \Delta {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }},\Delta ABC$ đều $\Rightarrow BC\bot AN\ \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\ \left( 2 \right)\Rightarrow BC\bot \left( AA'MN \right)\Rightarrow \left( AA'MN \right)\bot \left( BCC'B' \right)$
Kẻ ${{A}^{\prime }}P\bot \left( B{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}C \right)\Rightarrow P\in MN$. Gọi $Q$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $BB'$.
$\Rightarrow \left( \left( {{A}^{\prime }}AD \right),\left( A{{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}B \right) \right)=\left( \left( B{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}C \right),\left( A{{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}B \right) \right)=\widehat{{{A}^{\prime }}QP}=\alpha .$
$\tan \alpha =\dfrac{{{A}^{\prime }}P}{QP}=\sqrt{2}\Rightarrow {{A}^{\prime }}P=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\Rightarrow {{A}^{\prime }}Q=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{A}^{\prime }}B=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow {{A}^{\prime }}B=a\sqrt{3}\Rightarrow B{{B}^{\prime }}=2a$.
$B{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}C$ là hình chữ nhật $\Rightarrow {{V}_{A'ABCC'B'}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot 2a\cdot a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
$\Rightarrow {{V}_{{{A}^{\prime }}\cdot B{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}}}={{V}_{B\cdot {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}\Rightarrow V=6\cdot {{V}_{B\cdot {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}}}=6\cdot \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}={{a}^{3}}\sqrt{2}$.
A. $\sqrt{2}\ {{a}^{3}}$.
B. ${{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}\ {{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
$\widehat{A'BA}=\widehat{C'A'C}={{90}^{\circ }}\Rightarrow A'B=A'C\Rightarrow A'N\bot BC\ \left( 1 \right)$.
Theo bài ra $\widehat{BAD}={{120}^{{}^\circ }}\Rightarrow \Delta {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }},\Delta ABC$ đều $\Rightarrow BC\bot AN\ \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\ \left( 2 \right)\Rightarrow BC\bot \left( AA'MN \right)\Rightarrow \left( AA'MN \right)\bot \left( BCC'B' \right)$
Kẻ ${{A}^{\prime }}P\bot \left( B{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}C \right)\Rightarrow P\in MN$. Gọi $Q$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $BB'$.
$\Rightarrow \left( \left( {{A}^{\prime }}AD \right),\left( A{{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}B \right) \right)=\left( \left( B{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}C \right),\left( A{{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}B \right) \right)=\widehat{{{A}^{\prime }}QP}=\alpha .$
$\tan \alpha =\dfrac{{{A}^{\prime }}P}{QP}=\sqrt{2}\Rightarrow {{A}^{\prime }}P=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\Rightarrow {{A}^{\prime }}Q=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{A}^{\prime }}B=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow {{A}^{\prime }}B=a\sqrt{3}\Rightarrow B{{B}^{\prime }}=2a$.
$B{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}C$ là hình chữ nhật $\Rightarrow {{V}_{A'ABCC'B'}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot 2a\cdot a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
$\Rightarrow {{V}_{{{A}^{\prime }}\cdot B{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}}}={{V}_{B\cdot {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}\Rightarrow V=6\cdot {{V}_{B\cdot {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}}}=6\cdot \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}={{a}^{3}}\sqrt{2}$.
Đáp án A.