Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (A'BC ) và mặt phẳng ( ABC ) bằng 45o. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
Phương pháp:
- Xác định góc 450 (góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao tuyến).
- Tính chiều cao, diện tích đáy và suy ra thể tích theo công thức V = Bh với B là diện tích đáy, h là chiều cao.
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của BC AM BC và A'M BC (tam giác A'BC cân).
Mà ( A'BC) (ABC) = BC nên góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng góc giữa AM và A'M hay A'MA = 450
Tam giác ABC đều cạnh a nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Tam giác AMA' có A = 900, $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và A'MA = 450 nên $\text{AA}'=AM\tan {{45}^{0}}=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối lăng trụ: $V={{S}_{ABC}}\text{AA}'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{8}.$
- Xác định góc 450 (góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao tuyến).
- Tính chiều cao, diện tích đáy và suy ra thể tích theo công thức V = Bh với B là diện tích đáy, h là chiều cao.
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của BC AM BC và A'M BC (tam giác A'BC cân).
Mà ( A'BC) (ABC) = BC nên góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng góc giữa AM và A'M hay A'MA = 450
Tam giác ABC đều cạnh a nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Tam giác AMA' có A = 900, $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và A'MA = 450 nên $\text{AA}'=AM\tan {{45}^{0}}=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối lăng trụ: $V={{S}_{ABC}}\text{AA}'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{8}.$
Đáp án A.