Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng

(A^{'} B C)

và mặt phẳng

(A B C)

bằng

45^{\circ}

. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng:
A.

\frac{3 a^{3}}{8} .

B.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .

D.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8} .

Gọi M là trung điểm của

B C \Rightarrow A M ⊥ B C

và

A^{'} M ⊥ B C

(tam giác A'BC cân).
Mà

(A^{'} B C) \cap (A B C) = B C

nên góc giữa hai mặt phẳng

(A^{'} B C)

và

(A B C)

bằng góc giữa AM và A'M hay

A^{'} M A = 45^{\circ}

.
Tam giác ABC đều cạnh a nên

A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Tam giác AMA' có

A = 90^{\circ}, A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}

và

A^{'} M A = 45^{\circ}

nên

A A^{'} = A M \tan 45^{\circ} = A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Thể tích khối lăng trụ:

V = S_{A B C} . A A^{'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a^{2}}{8}

.

Đáp án A.