Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $45{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng:
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
Gọi M là trung điểm của $BC\Rightarrow AM\bot BC$ và $A'M\bot BC$ (tam giác A'BC cân).
Mà $\left( A'BC \right)\cap \left( ABC \right)=BC$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng góc giữa AM và A'M hay $A'MA=45{}^\circ $.
Tam giác ABC đều cạnh a nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Tam giác AMA' có $A=90{}^\circ ,AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $A'MA=45{}^\circ $ nên $AA'=AM\tan 45{}^\circ =AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ: $V={{S}_{ABC}}.AA'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{8}$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
Gọi M là trung điểm của $BC\Rightarrow AM\bot BC$ và $A'M\bot BC$ (tam giác A'BC cân).
Mà $\left( A'BC \right)\cap \left( ABC \right)=BC$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng góc giữa AM và A'M hay $A'MA=45{}^\circ $.
Tam giác ABC đều cạnh a nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Tam giác AMA' có $A=90{}^\circ ,AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $A'MA=45{}^\circ $ nên $AA'=AM\tan 45{}^\circ =AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ: $V={{S}_{ABC}}.AA'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{8}$.
Đáp án A.