Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB=a\sqrt{6}$, góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{30}^{o}}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng
A. $\dfrac{9{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}.$
D. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Ta có lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đều nên $A{A}'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( {A}'C,\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'CA}=30{}^\circ $.
Tam giác $A'AC$ vuông tại $A$ có $AA'=AC.\tan {{30}^{o}}=a\sqrt{6}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=a\sqrt{2}$.
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}.$
A. $\dfrac{9{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}.$
D. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Ta có lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đều nên $A{A}'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( {A}'C,\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'CA}=30{}^\circ $.
Tam giác $A'AC$ vuông tại $A$ có $AA'=AC.\tan {{30}^{o}}=a\sqrt{6}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=a\sqrt{2}$.
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}.$
Đáp án C.