Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB=2a,$ đường thẳng $AB'$ tạo với mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ một góc 30o. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
A. $V={{a}^{3}}\sqrt{6}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}.$
C. $V=2{{a}^{3}}\sqrt{6}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}.$
Gọi $M$ là trung điểm $BC.$
Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM\bot BC.$ Mà $AM\bot BB'$ (do $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ tam giác đều)
Suy ra $AM\bot \left( BB'C'C \right).$
Khi đó $B'M$ là hình chiếu của $AB'$ lên $\left( BB'C'C \right).$
Suy ra $\widehat{\left( AB',\left( BB'C'C \right) \right)}=\widehat{\left( AB',B'M \right)}=\widehat{AB'M}={{30}^{0}}.$
Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$
$\Delta AB'M$ vuông tại $M$ có $\sin \widehat{AB'M}=\dfrac{AM}{AB'}\Rightarrow AB'=\dfrac{AM}{\sin {{30}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{1}{2}}=2a\sqrt{3}.$
$\Delta ABB'$ vuông tại $B$ có $BB'=\sqrt{AB{{'}^{2}}-A{{B}^{2}}}=2a\sqrt{2}.$
Thể tích của khối lăng trụ đã cho là $V=BB'.{{S}_{ABC}}=2a\sqrt{2}.\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=2{{a}^{3}}\sqrt{6}$ (đvtt).
A. $V={{a}^{3}}\sqrt{6}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}.$
C. $V=2{{a}^{3}}\sqrt{6}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}.$
Gọi $M$ là trung điểm $BC.$
Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM\bot BC.$ Mà $AM\bot BB'$ (do $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ tam giác đều)
Suy ra $AM\bot \left( BB'C'C \right).$
Khi đó $B'M$ là hình chiếu của $AB'$ lên $\left( BB'C'C \right).$
Suy ra $\widehat{\left( AB',\left( BB'C'C \right) \right)}=\widehat{\left( AB',B'M \right)}=\widehat{AB'M}={{30}^{0}}.$
Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$
$\Delta AB'M$ vuông tại $M$ có $\sin \widehat{AB'M}=\dfrac{AM}{AB'}\Rightarrow AB'=\dfrac{AM}{\sin {{30}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{1}{2}}=2a\sqrt{3}.$
$\Delta ABB'$ vuông tại $B$ có $BB'=\sqrt{AB{{'}^{2}}-A{{B}^{2}}}=2a\sqrt{2}.$
Thể tích của khối lăng trụ đã cho là $V=BB'.{{S}_{ABC}}=2a\sqrt{2}.\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=2{{a}^{3}}\sqrt{6}$ (đvtt).
Đáp án C.