Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$. Gọi ${O}'$ là trọng tâm của tam giác ${A}'{B}'{C}'$, $\left( N \right)$ là hình nón ngoại tiếp hình chóp ${O}'.ABC$. Góc giữa đường sinh $\left( N \right)$ và mặt đáy là ${{60}^{0}}$, khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A}'B$ và ${C}'C$ bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $\dfrac{28\sqrt{21}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{4\sqrt{21}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{21}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{64\sqrt{21}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
Gọi $O';O$ lần lượt là trọng tâm $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle A'B'C'$
$\Rightarrow O';O$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle A'B'C'$
Gọi $I$ là trung điểm $OO'\Rightarrow I$ là mặt cầu ngoại tiếp hình trụ $ABC.A'B'C'$ và có bán kính $R=IA$
Theo giả thiết ta có $\widehat{O'AO}={{60}^{o}}$
Và ${{d}_{\left( CC';A'B \right)}}={{d}_{\left( CC';\left( AA'B'B \right) \right)}}={{d}_{\left( C;\left( AA'B'B \right) \right)}}=CM$ ( $M$ là trung điểm $AB$ ) $\Rightarrow CM=a\sqrt{3}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow AO=CO=\dfrac{2}{3}CM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \\
& O'O=AO.\tan {{60}^{O}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=2a\Rightarrow IO=a \\
& R=IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+A{{O}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3} \\
& V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{21}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{28{{a}^{3}}\sqrt{21}}{27} \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{28\sqrt{21}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{4\sqrt{21}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{21}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{64\sqrt{21}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
$\Rightarrow O';O$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle A'B'C'$
Gọi $I$ là trung điểm $OO'\Rightarrow I$ là mặt cầu ngoại tiếp hình trụ $ABC.A'B'C'$ và có bán kính $R=IA$
Theo giả thiết ta có $\widehat{O'AO}={{60}^{o}}$
Và ${{d}_{\left( CC';A'B \right)}}={{d}_{\left( CC';\left( AA'B'B \right) \right)}}={{d}_{\left( C;\left( AA'B'B \right) \right)}}=CM$ ( $M$ là trung điểm $AB$ ) $\Rightarrow CM=a\sqrt{3}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow AO=CO=\dfrac{2}{3}CM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \\
& O'O=AO.\tan {{60}^{O}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=2a\Rightarrow IO=a \\
& R=IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+A{{O}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3} \\
& V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{21}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{28{{a}^{3}}\sqrt{21}}{27} \\
\end{aligned}$
Đáp án A.