Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có thể tích 216...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có thể tích 216

c m^{3}

và diện tích của tam giác

A B C^{'}

bằng

24 \sqrt{3} c m^{2}

. Tính sin góc giữa AB và mặt phẳng

(A^{'} B C)

.
A.

\sin α = \frac{3}{4}

B.

\sin α = \frac{\sqrt{13}}{13}

C.

\sin α = \frac{2}{5}

D.

\sin α = \frac{3}{5}

Gọi

A B = x

, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC.

Khi đó

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} C^{'} M . x = 24 \sqrt{3} \Rightarrow C^{'} M = \frac{48 \sqrt{3}}{x}

\Rightarrow C C^{'} = \sqrt{C^{'} M^{2} - C M^{2}} = \sqrt{{(\frac{48 \sqrt{3}}{x})}^{2} - {(\frac{x \sqrt{3}}{2})}^{2}}

.
Mà

V = 216 = C C^{'} . S_{A B C} = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} \sqrt{{(\frac{48 \sqrt{3}}{x})}^{2} - {(\frac{x \sqrt{3}}{2})}^{2}} \Rightarrow x = 4 \sqrt{3}

\Rightarrow A B = 4 \sqrt{3}, A A^{'} = 6 \sqrt{3}

.
Kẻ

A H ⊥ A^{'} N \Rightarrow A H = \frac{A N . A A^{'}}{\sqrt{A N^{2} + A {A^{'}}^{2}}} = 3 \sqrt{3}

.
Ta có

\sin (A B, (A^{'} B C)) = \frac{d (A, (A^{'} B C))}{A B} = \frac{A H}{A B} = \frac{3}{4}

.

Đáp án A.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có thể tích 216...