Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích 216 $c{{m}^{3}}$ và diện tích của tam giác $AB{C}'$ bằng $24\sqrt{3}c{{m}^{2}}$. Tính sin góc giữa AB và mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$.
A. $\sin \alpha =\dfrac{3}{4}$
B. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{13}}{13}$
C. $\sin \alpha =\dfrac{2}{5}$
D. $\sin \alpha =\dfrac{3}{5}$
A. $\sin \alpha =\dfrac{3}{4}$
B. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{13}}{13}$
C. $\sin \alpha =\dfrac{2}{5}$
D. $\sin \alpha =\dfrac{3}{5}$
Gọi $AB=x$, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC.
Khi đó ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}{C}'M.x=24\sqrt{3}\Rightarrow {C}'M=\dfrac{48\sqrt{3}}{x}$
$\Rightarrow C{C}'=\sqrt{{C}'{{M}^{2}}-C{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{48\sqrt{3}}{x} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}$.
Mà $V=216=C{C}'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}\sqrt{{{\left( \dfrac{48\sqrt{3}}{x} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\Rightarrow x=4\sqrt{3}$
$\Rightarrow AB=4\sqrt{3},A{A}'=6\sqrt{3}$.
Kẻ $AH\bot {A}'N\Rightarrow AH=\dfrac{AN.A{A}'}{\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{{{A}'}}^{2}}}}=3\sqrt{3}$.
Ta có $\sin \left( AB,({A}'BC) \right)=\dfrac{d\left( A,({A}'BC) \right)}{AB}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{3}{4}$.
Khi đó ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}{C}'M.x=24\sqrt{3}\Rightarrow {C}'M=\dfrac{48\sqrt{3}}{x}$
$\Rightarrow C{C}'=\sqrt{{C}'{{M}^{2}}-C{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{48\sqrt{3}}{x} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}$.
Mà $V=216=C{C}'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}\sqrt{{{\left( \dfrac{48\sqrt{3}}{x} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\Rightarrow x=4\sqrt{3}$
$\Rightarrow AB=4\sqrt{3},A{A}'=6\sqrt{3}$.
Kẻ $AH\bot {A}'N\Rightarrow AH=\dfrac{AN.A{A}'}{\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{{{A}'}}^{2}}}}=3\sqrt{3}$.
Ta có $\sin \left( AB,({A}'BC) \right)=\dfrac{d\left( A,({A}'BC) \right)}{AB}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{3}{4}$.
Đáp án A.