Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có cạnh

A B = A A^{'} = a .

Gọi

M, N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

và

B^{'} C^{'} .

Mặt phẳng

(A^{'} M N)

cắt

B C

tại điểm

P .

Thể tích của khối đa diện

M B P . A^{'} B^{'} N

bằng
A.

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{24}

B.

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}

C.

\frac{7 \sqrt{3} a^{3}}{96}

D.

\frac{7 \sqrt{3} a^{3}}{32}

Gọi

S = A M \cap N P \Rightarrow {\begin{aligned} S \in (A^{'} B^{'} M) \\ S \in (B^{'} N P) \end{aligned}

Mà

(A^{'} B^{'} M) \cap (B^{'} N P) = B B^{'} \Rightarrow S \in B B^{'}

.
Ta có

\frac{V_{S M B P}}{V_{S A^{'} B^{'} N}} = \frac{S M}{S A^{'}} . \frac{S B}{S B^{'}} . \frac{S P}{S N} = \frac{M B}{A^{'} B^{'}} . \frac{B P}{B^{'} N} . \frac{B P}{B^{'} N} = \frac{1}{8}

\Rightarrow V_{M B P . A^{'} B^{'} N} = \frac{7}{8} V_{S A^{'} B^{'} N} .

Mà

V_{S A^{'} B^{'} N} = \frac{1}{3} S B^{'} . S_{A^{'} B^{'} N} = \frac{1}{3} .2 a . \frac{A^{'} {B^{'}}^{2} \sqrt{3}}{8} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

\Rightarrow V_{M B P . A^{'} B^{'} N} = \frac{7 \sqrt{3} a^{3}}{96} .

Đáp án C.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh...