Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh $AB=A{A}'=a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và ${B}'{C}'.$ Mặt phẳng $\left( {A}'MN \right)$ cắt $BC$ tại điểm $P.$ Thể tích của khối đa diện $MBP.{A}'{B}'N$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$
C. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}$
D. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}$
Gọi $S=AM\cap NP\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& S\in \left( {A}'{B}'M \right) \\
& S\in \left( {B}'NP \right) \\
\end{aligned} \right.$
Mà $\left( {A}'{B}'M \right)\cap \left( {B}'NP \right)=B{B}'\Rightarrow S\in B{B}'$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{SMBP}}}{{{V}_{S{A}'{B}'N}}}=\dfrac{SM}{S{A}'}.\dfrac{SB}{S{B}'}.\dfrac{SP}{SN}=\dfrac{MB}{{A}'{B}'}.\dfrac{BP}{{B}'N}.\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{1}{8}$
$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}.$
Mà ${{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}S{B}'.{{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{A}'{{{{B}'}}^{2}}\sqrt{3}}{8}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$
C. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}$
D. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}$
Gọi $S=AM\cap NP\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& S\in \left( {A}'{B}'M \right) \\
& S\in \left( {B}'NP \right) \\
\end{aligned} \right.$
Mà $\left( {A}'{B}'M \right)\cap \left( {B}'NP \right)=B{B}'\Rightarrow S\in B{B}'$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{SMBP}}}{{{V}_{S{A}'{B}'N}}}=\dfrac{SM}{S{A}'}.\dfrac{SB}{S{B}'}.\dfrac{SP}{SN}=\dfrac{MB}{{A}'{B}'}.\dfrac{BP}{{B}'N}.\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{1}{8}$
$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}.$
Mà ${{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}S{B}'.{{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{A}'{{{{B}'}}^{2}}\sqrt{3}}{8}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}.$
Đáp án C.