Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $a\sqrt{2}.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AC.$ Khi đó khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BM \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{a}{\sqrt{5}}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}.$
Ta có $(AMA')\bot (A'BM)$ có $A'M$ là giao tuyến của hai mặt phẳng
Kẻ $AH$ vuông góc đến $A'M$ suy ra khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BM \right)$ bằng $AH$.
Ta có
Xét $\Delta A'AM$ có $AA'=a\sqrt{2},AM=\dfrac{a}{2}$ ta được
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A'{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(\sqrt{2}a)}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{2}}{3}a$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{a}{\sqrt{5}}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}.$
Kẻ $AH$ vuông góc đến $A'M$ suy ra khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BM \right)$ bằng $AH$.
Ta có
Xét $\Delta A'AM$ có $AA'=a\sqrt{2},AM=\dfrac{a}{2}$ ta được
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A'{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(\sqrt{2}a)}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{2}}{3}a$
Đáp án A.