Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$. Lấy M, N lần lượt trên cạnh $A{B}',\text{ {A}'C}$ sao cho $\dfrac{AM}{A{B}'}=\dfrac{{A}'N}{{A}'C}=\dfrac{1}{3}$. Tính thể tích V của khối $BMN{C}'C$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{108}$
B. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{27}$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{108}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{27}$
Gọi G, K lần lượt là tâm các hình chữ nhật $AB{B}'{A}'$ và $A{A}'{C}'C$.
Ta có: $\dfrac{AM}{A{B}'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{AM}{AG}=\dfrac{2}{3}$ (do G là trung điểm $A{B}'$ ).
Xét tam giác $AB{A}'$ có AG là trung tuyến và $\dfrac{AM}{AG}=\dfrac{2}{3}$.
Suy ra M là trọng tâm tam giác $AB{A}'$.
Do đó BM đi qua trung điểm I của $\text{A{A}'}$.
Ta có: $\dfrac{{A}'N}{{A}'C}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{{A}'N}{{A}'K}=\dfrac{2}{3}$ (do K là trung điểm ${A}'C$ ).
Xét tam giác $\text{A{A}'}{C}'$ có ${A}'K$ là trung tuyến và $\dfrac{{A}'N}{{A}'K}=\dfrac{2}{3}$, suy ra N là trọng tâm của tam giác $\text{A{A}'}{C}'$.
Do đó ${C}'N$ đi qua trung điểm I của $\text{A{A}'}$.
Từ M là trọng tâm tam giác $AB{A}'$ và N trọng tâm của tam giác $\text{A{A}'}{C}'$, suy ra: $\dfrac{IM}{IB}=\dfrac{IN}{I{C}'}=\dfrac{1}{3}$.
Gọi ${{V}_{1}},{{\text{V}}_{2}}$ lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC; $IBC{C}'$.
Ta có: $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{IM}{IB}.\dfrac{IN}{I{C}'}.\dfrac{IC}{IC}=\dfrac{1}{9}$.
Mà ${{V}_{1}}+V={{V}_{2}}\Rightarrow V=\dfrac{8}{9}{{V}_{2}}$.
Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC.
Ta được AH vuông góc với mặt phẳng $\left( B{B}'{C}'C \right)$, $\text{A{A}'}$ song song với mặt phẳng $\left( B{B}'{C}'C \right)$ nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left( B{B}'{C}'C \right)$ bằng khoảng cách từ A đến $\left( B{B}'{C}'C \right)$ và bằng AH.
Ta có: $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},{{\text{V}}_{2}}=\dfrac{1}{3}d\left( I;(B{B}'{C}'C) \right).{{S}_{\Delta BC{C}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Suy ra: $V=\dfrac{8}{9}{{V}_{2}}=\dfrac{2{{\text{a}}^{3}}\sqrt{6}}{27}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{108}$
B. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{27}$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{108}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{27}$
Gọi G, K lần lượt là tâm các hình chữ nhật $AB{B}'{A}'$ và $A{A}'{C}'C$.
Ta có: $\dfrac{AM}{A{B}'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{AM}{AG}=\dfrac{2}{3}$ (do G là trung điểm $A{B}'$ ).
Xét tam giác $AB{A}'$ có AG là trung tuyến và $\dfrac{AM}{AG}=\dfrac{2}{3}$.
Suy ra M là trọng tâm tam giác $AB{A}'$.
Do đó BM đi qua trung điểm I của $\text{A{A}'}$.
Ta có: $\dfrac{{A}'N}{{A}'C}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{{A}'N}{{A}'K}=\dfrac{2}{3}$ (do K là trung điểm ${A}'C$ ).
Xét tam giác $\text{A{A}'}{C}'$ có ${A}'K$ là trung tuyến và $\dfrac{{A}'N}{{A}'K}=\dfrac{2}{3}$, suy ra N là trọng tâm của tam giác $\text{A{A}'}{C}'$.
Do đó ${C}'N$ đi qua trung điểm I của $\text{A{A}'}$.
Từ M là trọng tâm tam giác $AB{A}'$ và N trọng tâm của tam giác $\text{A{A}'}{C}'$, suy ra: $\dfrac{IM}{IB}=\dfrac{IN}{I{C}'}=\dfrac{1}{3}$.
Gọi ${{V}_{1}},{{\text{V}}_{2}}$ lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC; $IBC{C}'$.
Ta có: $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{IM}{IB}.\dfrac{IN}{I{C}'}.\dfrac{IC}{IC}=\dfrac{1}{9}$.
Mà ${{V}_{1}}+V={{V}_{2}}\Rightarrow V=\dfrac{8}{9}{{V}_{2}}$.
Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC.
Ta được AH vuông góc với mặt phẳng $\left( B{B}'{C}'C \right)$, $\text{A{A}'}$ song song với mặt phẳng $\left( B{B}'{C}'C \right)$ nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left( B{B}'{C}'C \right)$ bằng khoảng cách từ A đến $\left( B{B}'{C}'C \right)$ và bằng AH.
Ta có: $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},{{\text{V}}_{2}}=\dfrac{1}{3}d\left( I;(B{B}'{C}'C) \right).{{S}_{\Delta BC{C}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Suy ra: $V=\dfrac{8}{9}{{V}_{2}}=\dfrac{2{{\text{a}}^{3}}\sqrt{6}}{27}$.
Đáp án B.