Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng...

Gọi G, K lần lượt là tâm các hình chữ nhật $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$.
Ta có: ${\displaystyle \frac{AM}{A{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{AM}{AG}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (do G là trung điểm $A{B}^{\prime }$ ).
Xét tam giác $AB{A}^{\prime }$ có AG là trung tuyến và ${\displaystyle \frac{AM}{AG}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
Suy ra M là trọng tâm tam giác $AB{A}^{\prime }$.
Do đó BM đi qua trung điểm I của $\text{A{A}'}$.
Ta có: ${\displaystyle \frac{A^{\prime }N}{A^{\prime }C}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{A^{\prime }N}{A^{\prime }K}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (do K là trung điểm $A^{\prime }C$ ).
Xét tam giác $\text{A{A}'}{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }K$ là trung tuyến và ${\displaystyle \frac{A^{\prime }N}{A^{\prime }K}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$, suy ra N là trọng tâm của tam giác $\text{A{A}'}{C}^{\prime }$.
Do đó $C^{\prime }N$ đi qua trung điểm I của $\text{A{A}'}$.
Từ M là trọng tâm tam giác $AB{A}^{\prime }$ và N trọng tâm của tam giác $\text{A{A}'}{C}^{\prime }$, suy ra: ${\displaystyle \frac{IM}{IB}}={\displaystyle \frac{IN}{I{C}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
Gọi $V_1,{\text{V}}_2$ lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC; $IBC{C}^{\prime }$.
Ta có: ${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{IM}{IB}}.{\displaystyle \frac{IN}{I{C}^{\prime }}}.{\displaystyle \frac{IC}{IC}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$.
Mà $V_1+V=V_2\Rightarrow V={\displaystyle \frac{8}{9}}{V}_2$.
Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC.
Ta được AH vuông góc với mặt phẳng $\left(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C\right)$, $\text{A{A}'}$ song song với mặt phẳng $\left(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C\right)$ nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C\right)$ bằng khoảng cách từ A đến $\left(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C\right)$ và bằng AH.
Ta có: $AH={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}},{\text{V}}_2={\displaystyle \frac{1}{3}}d(I;(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)).S_{\mathrm{\Delta }BC{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}.{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{6}}{12}}$.
Suy ra: $V={\displaystyle \frac{8}{9}}{V}_2={\displaystyle \frac{2{\text{a}}^3\sqrt{6}}{27}}$.