Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có các cạnh đều bằng $a$. Tính diện tích của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó
A. $S=\dfrac{49\pi {{a}^{2}}}{144}$.
B. $S=\dfrac{7{{a}^{2}}}{3}$.
C. $S=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$.
D. $S=\dfrac{49{{a}^{2}}}{144}$.
Gọi mặt cầu đi qua 6 đỉnh của lăng trụ là $\left( S \right)$ tâm $I$, bán kính $R$.
Do $IA=IB=IC=I{A}'=I{B}'=I{C}'=R$ hình chiếu của $I$ trên các mặt $\left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ lần lượt là tâm $O$ của $\Delta ABC$ và tâm ${O}'$ của $\Delta {A}'{B}'{C}'$.
Mà $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là lăng trụ đều $I$ là trung điểm của $O{O}'\Rightarrow OI=\dfrac{O{O}'}{2}=\dfrac{A{A}'}{2}=\dfrac{a}{2}$.
Do $O$ là tâm tam giác đều $ABC$ cạnh $a\Rightarrow AO=\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Trong tam giác vuông $OAI$ có $R=IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$.
Diện tích của mặt cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\dfrac{21{{a}^{2}}}{36}=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$.
A. $S=\dfrac{49\pi {{a}^{2}}}{144}$.
B. $S=\dfrac{7{{a}^{2}}}{3}$.
C. $S=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$.
D. $S=\dfrac{49{{a}^{2}}}{144}$.
Gọi mặt cầu đi qua 6 đỉnh của lăng trụ là $\left( S \right)$ tâm $I$, bán kính $R$.
Do $IA=IB=IC=I{A}'=I{B}'=I{C}'=R$ hình chiếu của $I$ trên các mặt $\left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ lần lượt là tâm $O$ của $\Delta ABC$ và tâm ${O}'$ của $\Delta {A}'{B}'{C}'$.
Mà $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là lăng trụ đều $I$ là trung điểm của $O{O}'\Rightarrow OI=\dfrac{O{O}'}{2}=\dfrac{A{A}'}{2}=\dfrac{a}{2}$.
Do $O$ là tâm tam giác đều $ABC$ cạnh $a\Rightarrow AO=\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Trong tam giác vuông $OAI$ có $R=IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$.
Diện tích của mặt cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\dfrac{21{{a}^{2}}}{36}=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Đáp án C.