Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=a,$ $A{A}'=2a.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}'$ và ${A}'C.$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
C. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}.$
D. $\dfrac{2a\sqrt{17}}{17}.$
Gọi $M=A{B}'\cap {A}'B;N$ là trung điểm $BC$. Ta có: $A'C//MN\Rightarrow A'C//\left( ANB' \right)$.
Khi đó: $d\left( A{B}',{A}'C \right)=d\left( C,\left( AN{B}' \right) \right)=d\left( B,\left( AN{B}' \right) \right)$.
Kẻ $BH\bot {B}'N$, mà $\left\{ \begin{aligned}
& AN\bot BC \\
& AN\bot B{B}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AN\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\Rightarrow AN\bot BH.$
Do đó $BH\bot \left( AN{B}' \right)\Rightarrow d\left( B,\left( AN{B}' \right) \right)=BH.$
Xét $\Delta BN{B}':\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}\Rightarrow BH=\dfrac{2a\sqrt{17}}{17}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
C. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}.$
D. $\dfrac{2a\sqrt{17}}{17}.$
Khi đó: $d\left( A{B}',{A}'C \right)=d\left( C,\left( AN{B}' \right) \right)=d\left( B,\left( AN{B}' \right) \right)$.
Kẻ $BH\bot {B}'N$, mà $\left\{ \begin{aligned}
& AN\bot BC \\
& AN\bot B{B}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AN\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\Rightarrow AN\bot BH.$
Do đó $BH\bot \left( AN{B}' \right)\Rightarrow d\left( B,\left( AN{B}' \right) \right)=BH.$
Xét $\Delta BN{B}':\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}\Rightarrow BH=\dfrac{2a\sqrt{17}}{17}.$
Đáp án D.