Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=a$, $A{A}'=\sqrt{2}a$. Góc giữa đường thẳng ${A}'B$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng
A. $60{}^\circ $.
B. $90{}^\circ $.
C. $30{}^\circ $.
D. $45{}^\circ $.
Gọi $I$ là trung điểm ${B}'{C}'$. Suy ra ${A}'I\bot {B}'{C}'$ (1).
Mặt khác $B{B}'\bot \left( {A}'{B}'{C}' \right)\Rightarrow B{B}'\bot {A}'I$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra ${A}'I\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$. Suy ra $\left( {A}'B,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\left( {A}'B,BI \right)=\widehat{{A}'BI}$.
Xét $\Delta {A}'BI$ vuông tại $I$ có ${A}'I=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ; ${A}'B=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Khi đó $\sin \widehat{{A}'BI}=\dfrac{{A}'I}{{A}'B}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{{A}'BI}=30{}^\circ $.
A. $60{}^\circ $.
B. $90{}^\circ $.
C. $30{}^\circ $.
D. $45{}^\circ $.
Mặt khác $B{B}'\bot \left( {A}'{B}'{C}' \right)\Rightarrow B{B}'\bot {A}'I$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra ${A}'I\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$. Suy ra $\left( {A}'B,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\left( {A}'B,BI \right)=\widehat{{A}'BI}$.
Xét $\Delta {A}'BI$ vuông tại $I$ có ${A}'I=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ; ${A}'B=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Khi đó $\sin \widehat{{A}'BI}=\dfrac{{A}'I}{{A}'B}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{{A}'BI}=30{}^\circ $.
Đáp án C.