Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,$ hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm của $BC.$ Biết thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng $\dfrac{3{{a}^{3}}}{20}.$ Tính tang của góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy.
A. $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$
B. $\dfrac{6\sqrt{3}}{5}$
C. $\dfrac{2}{5}$
D. $\dfrac{6}{5}$
A. $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$
B. $\dfrac{6\sqrt{3}}{5}$
C. $\dfrac{2}{5}$
D. $\dfrac{6}{5}$
Phương pháp:
- Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ ta có $A'H\bot \left( ABC \right)$. Tính $A'H=\dfrac{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}.$
- Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa cạnh bên và hình chiếu của cạnh bên trên mặt đáy.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính tang của góc tạo bởi cạnh bên và mặtphẳng đáy.
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ ta có $A'H\bot \left( ABC \right)$.
Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ và $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Ta có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}\Rightarrow A'H=\dfrac{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{\dfrac{3{{a}^{3}}}{20}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{5}$.
Vì $A'H\bot \left( ABC \right)$ nên $AH$ là hình chiếu vuông góc của $AA'$ lên $\left( ABC \right)$.
$\Rightarrow \angle \left( AA';\left( ABC \right) \right)=\angle \left( AA';AH \right)=\angle A'AH.$
Xét tam giác vuông $AA'H$ ta có $\tan \angle A'AH=\dfrac{A'H}{AH}=\dfrac{a\sqrt{3}}{5}:\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2}{5}.$
- Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ ta có $A'H\bot \left( ABC \right)$. Tính $A'H=\dfrac{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}.$
- Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa cạnh bên và hình chiếu của cạnh bên trên mặt đáy.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính tang của góc tạo bởi cạnh bên và mặtphẳng đáy.
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ ta có $A'H\bot \left( ABC \right)$.
Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ và $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Ta có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}\Rightarrow A'H=\dfrac{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{\dfrac{3{{a}^{3}}}{20}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{5}$.
Vì $A'H\bot \left( ABC \right)$ nên $AH$ là hình chiếu vuông góc của $AA'$ lên $\left( ABC \right)$.
$\Rightarrow \angle \left( AA';\left( ABC \right) \right)=\angle \left( AA';AH \right)=\angle A'AH.$
Xét tam giác vuông $AA'H$ ta có $\tan \angle A'AH=\dfrac{A'H}{AH}=\dfrac{a\sqrt{3}}{5}:\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2}{5}.$
Đáp án C.