Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và $AB=AC=a$. Biết góc giữa hai đường thẳng $A{C}'$ và $B{A}'$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng:
A. ${{a}^{3}}$
B. $2{{\text{a}}^{3}}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ${A}'{B}'{C}'{D}'$.
Khi đó góc giữa $A{C}'$ và $B{A}'$ bằng góc giữa $B{A}'$ và BD và bằng $60{}^\circ $.
+ Trường hợp 1: Góc $\widehat{{A}'B\text{D}}=60{}^\circ $.
Ta gọi O là tâm của hình bình hành ${A}'{B}'{C}'{D}'$.
Ta có ${A}'D=2\text{{A}'}O={B}'{C}'=a\sqrt{2}$.
Tam giác ${A}'B\text{D}$ có ${A}'B=\sqrt{{A}'{{{{B}'}}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}}=\sqrt{D{{{{B}'}}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}}=B\text{D}$ nên $\Delta {A}'BD$ cân tại B.
Do $\widehat{{A}'B\text{D}}=60{}^\circ $ nên tam giác ${A}'B\text{D}$ đều suy ra ${A}'B={A}'D=a\sqrt{2}$.
Từ đó tính được ${B}'B=\sqrt{{A}'{{B}^{2}}-{A}'{{{{B}'}}^{2}}}=a$.
Thể tích lăng trụ là $V=B{B}'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
+ Trường hợp 2: Góc $\widehat{{A}'B\text{D}}=120{}^\circ $.
Lập luận như trường hợp 1 ta cũng có $\Delta {A}'B\text{D}$ cân tại B. Do đó BO là tia phân giác cũng đồng thời là đường cao.
Tính được $BO=\dfrac{{A}'O}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}<\dfrac{a\sqrt{2}}{2}={B}'O$ là điều vô lý vì BO là cạnh huyền trong tam giác vuông $B{B}'O$.
A. ${{a}^{3}}$
B. $2{{\text{a}}^{3}}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ${A}'{B}'{C}'{D}'$.
Khi đó góc giữa $A{C}'$ và $B{A}'$ bằng góc giữa $B{A}'$ và BD và bằng $60{}^\circ $.
+ Trường hợp 1: Góc $\widehat{{A}'B\text{D}}=60{}^\circ $.
Ta gọi O là tâm của hình bình hành ${A}'{B}'{C}'{D}'$.
Ta có ${A}'D=2\text{{A}'}O={B}'{C}'=a\sqrt{2}$.
Tam giác ${A}'B\text{D}$ có ${A}'B=\sqrt{{A}'{{{{B}'}}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}}=\sqrt{D{{{{B}'}}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}}=B\text{D}$ nên $\Delta {A}'BD$ cân tại B.
Do $\widehat{{A}'B\text{D}}=60{}^\circ $ nên tam giác ${A}'B\text{D}$ đều suy ra ${A}'B={A}'D=a\sqrt{2}$.
Từ đó tính được ${B}'B=\sqrt{{A}'{{B}^{2}}-{A}'{{{{B}'}}^{2}}}=a$.
Thể tích lăng trụ là $V=B{B}'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
+ Trường hợp 2: Góc $\widehat{{A}'B\text{D}}=120{}^\circ $.
Lập luận như trường hợp 1 ta cũng có $\Delta {A}'B\text{D}$ cân tại B. Do đó BO là tia phân giác cũng đồng thời là đường cao.
Tính được $BO=\dfrac{{A}'O}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}<\dfrac{a\sqrt{2}}{2}={B}'O$ là điều vô lý vì BO là cạnh huyền trong tam giác vuông $B{B}'O$.
Đáp án D.