Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $A{A}'=3a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A{A}',B{B}'$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Mặt phẳng $\left( MNG \right)$ cắt $BC$ và $CA$ lần lượt tại $F,E$. Thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các điểm $A,M,E,B,N,F$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{54}{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{18}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}.$
Do $MN//AB$ nên $EF//AB$, qua $G$ dựng đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC,CA$ lần lượt tại $F,E$. Khi đó $\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{2}{3}.$
Áp dụng công thức nhanh ta có:
$\dfrac{{{V}_{MNC.AB}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{AM}{A{A}'}+\dfrac{BN}{B{B}'}+\dfrac{CC}{C{C}'} \right)=\dfrac{1}{3}$
Do đó ${{V}_{MNC.AB}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.2a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Đặt $\dfrac{CE}{CA}=x,\dfrac{CM}{CM}=y,\dfrac{CF}{CB}=z,\dfrac{CN}{CN}=t$
Khi đó $\dfrac{{{V}_{C.MNFE}}}{{{V}_{CAB.MN}}}=\dfrac{xyzt}{4}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{5}{9}\Rightarrow {{V}_{C.MNFE}}=\dfrac{5}{9}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Do đó ${{V}_{AM\text{E}.BNF}}={{V}_{CABMN}}-{{V}_{C.MNEF}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{54}{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{18}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}.$
Do $MN//AB$ nên $EF//AB$, qua $G$ dựng đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC,CA$ lần lượt tại $F,E$. Khi đó $\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{2}{3}.$
Áp dụng công thức nhanh ta có:
$\dfrac{{{V}_{MNC.AB}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{AM}{A{A}'}+\dfrac{BN}{B{B}'}+\dfrac{CC}{C{C}'} \right)=\dfrac{1}{3}$
Do đó ${{V}_{MNC.AB}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.2a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Đặt $\dfrac{CE}{CA}=x,\dfrac{CM}{CM}=y,\dfrac{CF}{CB}=z,\dfrac{CN}{CN}=t$
Khi đó $\dfrac{{{V}_{C.MNFE}}}{{{V}_{CAB.MN}}}=\dfrac{xyzt}{4}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{5}{9}\Rightarrow {{V}_{C.MNFE}}=\dfrac{5}{9}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Do đó ${{V}_{AM\text{E}.BNF}}={{V}_{CABMN}}-{{V}_{C.MNEF}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}.$
Đáp án D.