Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và

A A^{'} = 3 a

. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

A A^{'}

,

B B^{'}

và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng

(M N G)

cắt BC và CA lần lượt tại F, E. Thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các điểm A, M, E, B, N, F bằng
A.

\frac{\sqrt{3}}{54} a^{3}

.
B.

\frac{\sqrt{3}}{3} a^{3}

.
C.

\frac{\sqrt{3}}{18} a^{3}

.
D.

\frac{\sqrt{3}}{9} a^{3}

.

Do

M N / / A B

nên

E F / / A B

, qua G dựng đường thẳng song song với AB cắt BC, CA lần lượt tại F, E. Khi đó

\frac{C E}{C A} = \frac{C F}{C B} = \frac{2}{3}

.
Áp dụng công thức nhanh ta có:

\frac{V_{M N C . A B}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{1}{3} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C C}{C C^{'}}) = \frac{1}{3}

Do đó

V_{M N C . A B} = \frac{1}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .2 a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

Đặt

\frac{C E}{C A} = x

,

\frac{C M}{C M} = y

,

\frac{C F}{C B} = z

,

\frac{C N}{C N} = t

Khi đó

\frac{V_{C . M N F E}}{V_{C A B . M N}} = \frac{x y z t}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t}) = \frac{5}{9} \Rightarrow V_{C . M N F E} = \frac{5}{9} . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

Do đó

V_{A M E . B N F} = V_{C . A B M N} - V_{C . M N E F} = \frac{\sqrt{3}}{9} a^{3}

Đáp án D.