Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình bình...

Cách giải:

Tam giác $ACD$ vuông cân tại $A$ và $AC=2a$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& AD=2a \\
& CD=2a\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right..$
Vì $I$ là trung điểm của $CD$ nên $AI=\dfrac{1}{2}CD=a\sqrt{2}$ (đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Ta có $A'A\bot \left( ACD \right)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $A'C$ lên $\left( ABCD \right).$
$\Rightarrow \left( A'C;\left( ABCD \right) \right)=\left( A'C;AC \right)=\alpha .$
Xét tam giác vuông $A'AC$ có: $A'A=AC.\tan \alpha =2a.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}.$
Trong $\left( A'AI \right)$ kẻ $AH\bot A'I\left( H\in A'I \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AI \\
& CD\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( A'AI \right)\Rightarrow CD\bot AH$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot A'I \\
& AH\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( A'CD \right)$
$\Rightarrow HC$ là hình chiếu vuông góc của $AC$ lên $\left( A'CD \right)\Rightarrow \angle \left( AC;\left( A'CD \right) \right)=\angle \left( AC;HC \right)=\angle ACH.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A'AI$ ta có:
$AH=\dfrac{A'A.AI}{\sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.a\sqrt{2}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=a$
Xét tam giác vuông $AHC$ có $\sin \angle ACH=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \angle ACH={{30}^{0}}.$
Vậy $\angle \left( AC;\left( A'CD \right) \right)={{30}^{0}}.$