Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, góc giữa $AC$ và mặt phẳng $\left( {A}'CD \right)$ bằng $30{}^\circ $. Gọi $M$ là điểm sao cho $\overrightarrow{{A}'M}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{{A}'B}$. Thể tích khối tứ diện ${A}'CDM$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{18}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot D{D}' \\
& AD, D{D}'\subset \left( AD{D}'{A}' \right) \\
& AD\cap D{D}'=D \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left. \begin{aligned}
& CD\bot \left( AD{D}'{A}' \right) \\
& AE\subset \left( AD{D}'{A}' \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AE\bot CD$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& AE\bot CD \\
& AE\bot {A}'D \\
& CD, {A}'D\subset \left( {A}'CD \right) \\
& CD\cap {A}'D=D \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AE\bot \left( {A}'CD \right)$.
Hình chiếu vuông góc của $AC$ lên mặt phẳng $\left( {A}'CD \right)$ là $EC$.
$\angle \left( AC,\left( {A}'CD \right) \right)=\angle \left( AC,EC \right)=\angle ACE=30{}^\circ $.
Xét tam giác $ACE$ vuông ở $E$ $\Rightarrow AE=AC.sin30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Xét tam giác $A{A}'D$ vuông ở $A$ có
$AE\bot {A}'D\Rightarrow \dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow A{A}'=a$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{{A}'CDM}}}{{{V}_{{A}'CDB}}}=\dfrac{{A}'M}{{A}'B}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{{A}'CDM}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{{A}'CDB}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{18}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{18}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
2070735215201500
Kẻ $AE\bot {A}'D$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot D{D}' \\
& AD, D{D}'\subset \left( AD{D}'{A}' \right) \\
& AD\cap D{D}'=D \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left. \begin{aligned}
& CD\bot \left( AD{D}'{A}' \right) \\
& AE\subset \left( AD{D}'{A}' \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AE\bot CD$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& AE\bot CD \\
& AE\bot {A}'D \\
& CD, {A}'D\subset \left( {A}'CD \right) \\
& CD\cap {A}'D=D \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AE\bot \left( {A}'CD \right)$.
Hình chiếu vuông góc của $AC$ lên mặt phẳng $\left( {A}'CD \right)$ là $EC$.
$\angle \left( AC,\left( {A}'CD \right) \right)=\angle \left( AC,EC \right)=\angle ACE=30{}^\circ $.
Xét tam giác $ACE$ vuông ở $E$ $\Rightarrow AE=AC.sin30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Xét tam giác $A{A}'D$ vuông ở $A$ có
$AE\bot {A}'D\Rightarrow \dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow A{A}'=a$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{{A}'CDM}}}{{{V}_{{A}'CDB}}}=\dfrac{{A}'M}{{A}'B}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{{A}'CDM}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{{A}'CDB}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{18}$.
Đáp án B.