Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ACB}=30{}^\circ $, biết góc giữa $B'C$ và mặt phẳng $\left( ACC'A' \right)$ bằng $\alpha $ thỏa mãn $\sin \alpha =\dfrac{1}{2\sqrt{5}}$. Cho khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $CC'$ bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.
A. $V=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
C. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $V={{a}^{3}}\sqrt{6}$.
* Ta có: $CC'\text{//} AA'\Rightarrow CC'\text{//} \left(AA'B'B \right)$
Mà $A'B\subset \left( AA'B'B \right), $ nên
$d\left( CC' ; A'B \right)=d\left( CC' ; \left( AA'B'B \right) \right)=C'A'=a\sqrt{3} $
* Ta có: $AC=A'C'=a\sqrt{3} ; AB=A'B'=a ; $
Diện tích đáy là $B=dt\left( ABC \right)=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
* Dễ thấy $A'B' $ $\left( ACC'A' \right) $
Góc giữa $B'C$ và mặt phẳng $\left( ACC'A' \right)$ là $\widehat{B'CA'}=\alpha $
$\sin \alpha =\dfrac{A'B'}{B'C}=\dfrac{1}{2\sqrt{5}} \Leftrightarrow B'C=2a\sqrt{5}$
$CC'=\sqrt{B'{{C}^{2}}-B'C{{'}^{2}}}=\sqrt{20{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=4a$
* Thể tích lăng trụ là $V=B.h$ với $h = CC'$ $V= \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2} . 4a=2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
A. $V=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
C. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $V={{a}^{3}}\sqrt{6}$.
* Ta có: $CC'\text{//} AA'\Rightarrow CC'\text{//} \left(AA'B'B \right)$
Mà $A'B\subset \left( AA'B'B \right), $ nên
$d\left( CC' ; A'B \right)=d\left( CC' ; \left( AA'B'B \right) \right)=C'A'=a\sqrt{3} $
* Ta có: $AC=A'C'=a\sqrt{3} ; AB=A'B'=a ; $
Diện tích đáy là $B=dt\left( ABC \right)=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
* Dễ thấy $A'B' $ $\left( ACC'A' \right) $
Góc giữa $B'C$ và mặt phẳng $\left( ACC'A' \right)$ là $\widehat{B'CA'}=\alpha $
$\sin \alpha =\dfrac{A'B'}{B'C}=\dfrac{1}{2\sqrt{5}} \Leftrightarrow B'C=2a\sqrt{5}$
$CC'=\sqrt{B'{{C}^{2}}-B'C{{'}^{2}}}=\sqrt{20{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=4a$
* Thể tích lăng trụ là $V=B.h$ với $h = CC'$ $V= \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2} . 4a=2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Đáp án A.