Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' .Có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C với $CA=CB=a.$ Trên đường chéo CA' lấy hai điểm M, N. Trên đường chéo AB' lấy được hai điểm P, Q sao cho MPNQ tạo thành một tứ diện đều. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'
A. $2{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
C. ${{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
Vì MNPQ là tứ diện đều nên ta có:
$MN\bot PQ\Rightarrow \overrightarrow{C{A}'}\bot \overrightarrow{A{B}'}\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{A{A}'} \right)\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}'} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{A{A}'} \right)\left( \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}'} \right)=0$
$\Leftrightarrow C{{{C}'}^{2}}-C{{A}^{2}}=0\Leftrightarrow C{C}'-CA=a.$
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.C{C}'=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
A. $2{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
C. ${{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
Vì MNPQ là tứ diện đều nên ta có:
$MN\bot PQ\Rightarrow \overrightarrow{C{A}'}\bot \overrightarrow{A{B}'}\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{A{A}'} \right)\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}'} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{A{A}'} \right)\left( \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}'} \right)=0$
$\Leftrightarrow C{{{C}'}^{2}}-C{{A}^{2}}=0\Leftrightarrow C{C}'-CA=a.$
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.C{C}'=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
Đáp án D.