Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh bên $A{A}'=a\sqrt{2}$. Biết đáy ABC là tam giác vuông có $BA=BC=a$, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C.
A. $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
B. $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
D. $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Lấy N là trung điểm của BB' $\Rightarrow MN//{B}'C$ (do MN là đường trung bình tam giác BB'C )
Mà $MN\subset \left( AMN \right)$ suy ra ${B}'C//\left( AMN \right)$
Từ đó:
$d\left( AM;{B}'C \right)=d\left( {B}'C;\left( AMN \right) \right)=d\left( {B}';\left( AMN \right) \right)=d\left( B;\left( AMN \right) \right)$
Trong (ABC) kẻ $BH\bot AM$ tại H.
Lại có $AM\bot BN$ (do $BN\bot \left( ABC \right)$ ) nên $AM\bot \left( BHN \right)$ suy ra $\left( AMN \right)\bot \left( BHN \right)$.
Ta kẻ $BK\bot HN$ tại K, khi đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( AMN \right)\bot \left( BHN \right) \\
& \left( AMN \right)\cap \left( BHN \right)=HN \\
& BK\bot HN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BK\bot \left( AMN \right) $Hay$ d\left( AM;{B}'C \right)=d\left( B;\left( AMN \right) \right)=BK$
$\Delta ABM$ vuông tại B có BH là đường cao nên:
$\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{{{a}^{2}}}\Rightarrow BH=\dfrac{a}{\sqrt{5}}$
Ta có $B{B}'=A{A}'=a\sqrt{2}\Rightarrow BN=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Delta BHN$ vuông tại B có BK là đường cao nên:
$\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}=\dfrac{5}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}\Rightarrow BK=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
Vậy $d\left( AM;{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Note 91: Phương pháp chung
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì nằm trong mặt phẳng đó.
Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng đó.
$B{B}'\cap \left( AMN \right)=\left\{ N \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( B;\left( AMN \right) \right)}{d\left( B;\left( AMN \right) \right)}=\dfrac{BN}{{B}'N}$
Hệ thức lượng trong tam giác:
$\Delta ABM$ vuông tại B có BH là đường cao nên: $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}$
A. $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
B. $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
D. $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Lấy N là trung điểm của BB' $\Rightarrow MN//{B}'C$ (do MN là đường trung bình tam giác BB'C )
Mà $MN\subset \left( AMN \right)$ suy ra ${B}'C//\left( AMN \right)$
Từ đó:
$d\left( AM;{B}'C \right)=d\left( {B}'C;\left( AMN \right) \right)=d\left( {B}';\left( AMN \right) \right)=d\left( B;\left( AMN \right) \right)$
Trong (ABC) kẻ $BH\bot AM$ tại H.
Lại có $AM\bot BN$ (do $BN\bot \left( ABC \right)$ ) nên $AM\bot \left( BHN \right)$ suy ra $\left( AMN \right)\bot \left( BHN \right)$.
Ta kẻ $BK\bot HN$ tại K, khi đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( AMN \right)\bot \left( BHN \right) \\
& \left( AMN \right)\cap \left( BHN \right)=HN \\
& BK\bot HN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BK\bot \left( AMN \right) $Hay$ d\left( AM;{B}'C \right)=d\left( B;\left( AMN \right) \right)=BK$
$\Delta ABM$ vuông tại B có BH là đường cao nên:
$\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{{{a}^{2}}}\Rightarrow BH=\dfrac{a}{\sqrt{5}}$
Ta có $B{B}'=A{A}'=a\sqrt{2}\Rightarrow BN=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Delta BHN$ vuông tại B có BK là đường cao nên:
$\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}=\dfrac{5}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}\Rightarrow BK=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
Vậy $d\left( AM;{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Note 91: Phương pháp chung
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì nằm trong mặt phẳng đó.
Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng đó.
$B{B}'\cap \left( AMN \right)=\left\{ N \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( B;\left( AMN \right) \right)}{d\left( B;\left( AMN \right) \right)}=\dfrac{BN}{{B}'N}$
Hệ thức lượng trong tam giác:
$\Delta ABM$ vuông tại B có BH là đường cao nên: $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}$
Đáp án D.