Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=1,AC=2,AA'=2\sqrt{5}.$ Gọi $D$ là trung điểm của $CC'$ và $\angle BDA'={{90}^{0}}.$ Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'.$
A. $V=2\sqrt{15}$
B. $V=\sqrt{15}$
C. $V=3\sqrt{15}$
D. $V=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
A. $V=2\sqrt{15}$
B. $V=\sqrt{15}$
C. $V=3\sqrt{15}$
D. $V=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
Phương pháp:
- Áp dụng định lí Pytago tính $A'B,A'D.$
- Áp dụng định lí Pytago tính $BD,$ tiếp tục áp dụng định lí Pytago tính $BC.$
- Sử dụng công thức Hê-rong tính diện tích tam giác $ABC:{{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)},$ với $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$.
- Tính thể tích ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}.$
Cách giải:
Áp dụng định lí Pytago ta có:
$A'B=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{20+1}=\sqrt{21}$
$A'D=\sqrt{A'C{{'}^{2}}+C'{{D}^{2}}}=\sqrt{4+5}=3$
Vì $\Delta A'BD$ vuông tại $D$ nên $BD=\sqrt{A'{{B}^{2}}-A'{{D}^{2}}}=\sqrt{21-9}=2\sqrt{3}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $BCD$ ta có $BC=\sqrt{B{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=\sqrt{12-5}=\sqrt{7}.$
Gọi $p$ là chu vi tam giác $ABC$ ta có $p=\dfrac{1+2+\sqrt{7}}{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{5}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{15}.$
- Áp dụng định lí Pytago tính $A'B,A'D.$
- Áp dụng định lí Pytago tính $BD,$ tiếp tục áp dụng định lí Pytago tính $BC.$
- Sử dụng công thức Hê-rong tính diện tích tam giác $ABC:{{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)},$ với $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$.
- Tính thể tích ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}.$
Cách giải:
Áp dụng định lí Pytago ta có:
$A'B=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{20+1}=\sqrt{21}$
$A'D=\sqrt{A'C{{'}^{2}}+C'{{D}^{2}}}=\sqrt{4+5}=3$
Vì $\Delta A'BD$ vuông tại $D$ nên $BD=\sqrt{A'{{B}^{2}}-A'{{D}^{2}}}=\sqrt{21-9}=2\sqrt{3}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $BCD$ ta có $BC=\sqrt{B{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=\sqrt{12-5}=\sqrt{7}.$
Gọi $p$ là chu vi tam giác $ABC$ ta có $p=\dfrac{1+2+\sqrt{7}}{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{5}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{15}.$
Đáp án B.