Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$
Khoảng cách từ tâm $O$ của tam giác $\left( ABC \right)$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ bằng $\dfrac{a}{6}.$ Thể tích khối lăng trụ bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}.$
B. $\dfrac{3 a^3 \sqrt{2}}{8}$.
C. $\dfrac{3 a^3 \sqrt{2}}{16}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{28}$.
Gọi $M,{M}'$ lần lượt là trung điểm của $BC,B'C'$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot M{M}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AM{M}' \right).$
Trong $\left( AM{M}' \right)$ kẻ $OK\bot {A}'M.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( {A}'BC \right)\bot \left( AM{M}' \right) \\
& \left( {A}'BC \right)\cap \left( AM{M}' \right)=AM \\
& OK\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OK\bot \left( {A}'BC \right)\Rightarrow d\left( O,\left( {A}'BC \right) \right)=OK.$
Ta có $\Delta OKM\sim \Delta {A}'AM\Rightarrow \dfrac{OK}{{A}'A}=\dfrac{OM}{{A}'M}\Rightarrow {A}'A=\dfrac{{A}'M}{OM}.OK=\dfrac{\dfrac{a}{6}.}{\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}\Rightarrow 3{A}'{{A}^{2}}={A}'{{M}^{2}}$
$3{A}'{{A}^{2}}={A}'{{A}^{2}}+A'{{{M}'}^{2}}\Rightarrow {A}'{{A}^{2}}=\dfrac{A'{{{{M}'}}^{2}}}{2}\Rightarrow {A}'A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}{A}'{M}'=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$
Thể tích khối lăng trụ $ABC.{{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$ bằng $V={A}'A.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16}.$
Khoảng cách từ tâm $O$ của tam giác $\left( ABC \right)$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ bằng $\dfrac{a}{6}.$ Thể tích khối lăng trụ bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}.$
B. $\dfrac{3 a^3 \sqrt{2}}{8}$.
C. $\dfrac{3 a^3 \sqrt{2}}{16}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{28}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot M{M}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AM{M}' \right).$
Trong $\left( AM{M}' \right)$ kẻ $OK\bot {A}'M.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( {A}'BC \right)\bot \left( AM{M}' \right) \\
& \left( {A}'BC \right)\cap \left( AM{M}' \right)=AM \\
& OK\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OK\bot \left( {A}'BC \right)\Rightarrow d\left( O,\left( {A}'BC \right) \right)=OK.$
Ta có $\Delta OKM\sim \Delta {A}'AM\Rightarrow \dfrac{OK}{{A}'A}=\dfrac{OM}{{A}'M}\Rightarrow {A}'A=\dfrac{{A}'M}{OM}.OK=\dfrac{\dfrac{a}{6}.}{\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}\Rightarrow 3{A}'{{A}^{2}}={A}'{{M}^{2}}$
$3{A}'{{A}^{2}}={A}'{{A}^{2}}+A'{{{M}'}^{2}}\Rightarrow {A}'{{A}^{2}}=\dfrac{A'{{{{M}'}}^{2}}}{2}\Rightarrow {A}'A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}{A}'{M}'=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$
Thể tích khối lăng trụ $ABC.{{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$ bằng $V={A}'A.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16}.$
Đáp án C.
