Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B, A B=a$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left(A C C^{\prime}\right)$ và $\left(A B^{\prime} C^{\prime}\right)$ bằng $60^{\circ}$. Thể tích khối chóp ${{B}^{\prime }}.AC{{C}^{\prime }}{{A}^{\prime }}$ bằng
A. $\dfrac{a^3}{2}$.
B. $\dfrac{a^3}{6}$.
C. $\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a^3}{3}$.
Chọn hệ trục tọa độ $Bxyz$ như hình vẽ.
Ta có $B\left( 0;0;0 \right),A\left( a;0;0 \right),C\left( 0;a;0 \right),A'\left( a;0;h \right),B'\left( 0;0;h \right),C'\left( 0;a;h \right),AA'=h>0.$
Gọi $M$ là trung điểm của $AC\Rightarrow M=\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;1;0 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot AC \\
& BM\bot CC' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot \left( ACC' \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;1;0 \right) $ là véc tơ pháp tuyến của $ \left( ACC' \right).$
Mặt phẳng $\left( AB'C' \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\Rightarrow MI=2$ $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( h;0;a \right).$
Theo bài ra $\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2{{h}^{2}}={{h}^{2}}+{{a}^{2}}\Rightarrow h=a.$
Ta có $AC{{C}^{\prime }}{{A}^{\prime }}$ là hình chữ nhật với $AC=a\sqrt{2},AA'=a.$
Thể tích khối chóp ${{B}^{\prime }}.AC{{C}^{\prime }}{{A}^{\prime }}$ bằng $V=\dfrac{1}{3}BM.{{S}_{ACC'A'}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
A. $\dfrac{a^3}{2}$.
B. $\dfrac{a^3}{6}$.
C. $\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a^3}{3}$.
Ta có $B\left( 0;0;0 \right),A\left( a;0;0 \right),C\left( 0;a;0 \right),A'\left( a;0;h \right),B'\left( 0;0;h \right),C'\left( 0;a;h \right),AA'=h>0.$
Gọi $M$ là trung điểm của $AC\Rightarrow M=\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;1;0 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot AC \\
& BM\bot CC' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot \left( ACC' \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;1;0 \right) $ là véc tơ pháp tuyến của $ \left( ACC' \right).$
Mặt phẳng $\left( AB'C' \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\Rightarrow MI=2$ $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( h;0;a \right).$
Theo bài ra $\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2{{h}^{2}}={{h}^{2}}+{{a}^{2}}\Rightarrow h=a.$
Ta có $AC{{C}^{\prime }}{{A}^{\prime }}$ là hình chữ nhật với $AC=a\sqrt{2},AA'=a.$
Thể tích khối chóp ${{B}^{\prime }}.AC{{C}^{\prime }}{{A}^{\prime }}$ bằng $V=\dfrac{1}{3}BM.{{S}_{ACC'A'}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án D.