Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A\prime B\prime C\prime $ có đáy $ABC$ vuông tại $A,$ $AB=a\sqrt{3}$, $AC=A{A}'=a$ Giá trị sin của góc giữa đường thẳng $A{C}'$ và mặt phẳng $\left( BCC\prime B\prime \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Kẻ $AH\bot BC\Rightarrow AH\bot \left( BCC\prime B\prime \right)$, từ đó $\left( A{C}';\left( BCC\prime B\prime \right) \right)=\widehat{A{C}'H}$.
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ : $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}\Leftrightarrow AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$.
Xét $\Delta A{A}'{C}'$ vuông tại ${C}'$ : $A{C}'=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{{{C}'}}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Xét $\Delta AH{C}'$ vuông tại ${C}'$ : $\sin \widehat{A{C}'H}=\dfrac{AH}{A{C}'}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
A. $\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ : $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}\Leftrightarrow AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$.
Xét $\Delta A{A}'{C}'$ vuông tại ${C}'$ : $A{C}'=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{{{C}'}}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Xét $\Delta AH{C}'$ vuông tại ${C}'$ : $\sin \widehat{A{C}'H}=\dfrac{AH}{A{C}'}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Đáp án D.
