Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}'$ (tham khảo hình vẽ).
Khoảng Cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Trong $\left( AB{B}'{A}' \right)$, gọi $E$ là giao điểm Của $BM$ và $A{B}'$. Khi đó hai tam giác $EAM$ và $E{B}'B$ đồng dạng. Do đó $\dfrac{d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)}{d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)}=\dfrac{EM}{EB}=\dfrac{MA}{B{B}'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}\cdot d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)$.
Từ $B$ kẻ $BN\bot AC$ thì $N$ là trung điểm Của $AC$ và $BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $B{B}'=a$.
Kẻ $BI\bot {B}'N$ thì $d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=BI=\dfrac{B{B}'\cdot BN}{\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}+B{{N}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Vậy $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}\cdot d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Khoảng Cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Trong $\left( AB{B}'{A}' \right)$, gọi $E$ là giao điểm Của $BM$ và $A{B}'$. Khi đó hai tam giác $EAM$ và $E{B}'B$ đồng dạng. Do đó $\dfrac{d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)}{d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)}=\dfrac{EM}{EB}=\dfrac{MA}{B{B}'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}\cdot d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)$.
Từ $B$ kẻ $BN\bot AC$ thì $N$ là trung điểm Của $AC$ và $BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $B{B}'=a$.
Kẻ $BI\bot {B}'N$ thì $d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=BI=\dfrac{B{B}'\cdot BN}{\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}+B{{N}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Vậy $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}\cdot d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Đáp án D.