Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều. Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi ${A}'B$ với mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ và $\beta $ là góc giữa mặt phẳng $\left( {A}'B{C}' \right)$ với mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$. Biết ${{\cot }^{2}}\alpha -{{\cot }^{2}}\beta =\dfrac{m}{n}$ (với $m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và phân số $\dfrac{m}{n}$ ). Khi đó giá trị của biểu thức $T=m+2n$ bằng
A. $T=3$.
B. $T=5$.
C. $T=7$.
D. $T=9$.
Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của ${A}'{C}', AC$.
Khi đó $BK\bot \left( AC{C}'{A}' \right)\Rightarrow \alpha =\widehat{\left( {A}'B,\left( AC{C}'{A}' \right) \right)}=\widehat{B{A}'K}\Rightarrow {{\cot }^{2}}\alpha =\dfrac{{A}'{{K}^{2}}}{B{{K}^{2}}}$.
Do $HK\bot {A}'{C}', BH\bot {A}'{C}'\Rightarrow \beta =\widehat{\left( \left( {A}'B{C}' \right),\left( AC{C}'{A}' \right) \right)}=\widehat{BHK}\Rightarrow {{\cot }^{2}}\beta =\dfrac{H{{K}^{2}}}{B{{K}^{2}}}$.
Khi đó ${{\cot }^{2}}\alpha -{{\cot }^{2}}\beta ==\dfrac{{A}'{{K}^{2}}-H{{K}^{2}}}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{{A}'{{{{H}'}}^{2}}}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{A{{K}^{2}}}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{A{{K}^{2}}}{A{{B}^{2}}-A{{K}^{2}}}=\dfrac{A{{K}^{2}}}{4A{{K}^{2}}-A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{3}$.
Vậy $m=1; n=3\Rightarrow m+2n=7$.
A. $T=3$.
B. $T=5$.
C. $T=7$.
D. $T=9$.
Khi đó $BK\bot \left( AC{C}'{A}' \right)\Rightarrow \alpha =\widehat{\left( {A}'B,\left( AC{C}'{A}' \right) \right)}=\widehat{B{A}'K}\Rightarrow {{\cot }^{2}}\alpha =\dfrac{{A}'{{K}^{2}}}{B{{K}^{2}}}$.
Do $HK\bot {A}'{C}', BH\bot {A}'{C}'\Rightarrow \beta =\widehat{\left( \left( {A}'B{C}' \right),\left( AC{C}'{A}' \right) \right)}=\widehat{BHK}\Rightarrow {{\cot }^{2}}\beta =\dfrac{H{{K}^{2}}}{B{{K}^{2}}}$.
Khi đó ${{\cot }^{2}}\alpha -{{\cot }^{2}}\beta ==\dfrac{{A}'{{K}^{2}}-H{{K}^{2}}}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{{A}'{{{{H}'}}^{2}}}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{A{{K}^{2}}}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{A{{K}^{2}}}{A{{B}^{2}}-A{{K}^{2}}}=\dfrac{A{{K}^{2}}}{4A{{K}^{2}}-A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{3}$.
Vậy $m=1; n=3\Rightarrow m+2n=7$.
Đáp án C.