Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều...

The Collectors · 15/3/22

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là tam giác đều cạnh bằng

2 a

, cạnh bên bằng

a

. Tìm khoảng cách từ điểm

A^{'}

đến mặt phẳng

(A B^{'} C^{'})

A.

\frac{\sqrt{3} a}{4}

.
B.

\frac{\sqrt{21} a}{14}

.
C.

\frac{\sqrt{21} a}{7}

.
D.

\frac{\sqrt{3} a}{2}

.

Gọi

M

là trung điểm

B C \Rightarrow A M = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}

.
Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A^{'}

trên

A M

.
Có:

{\begin{aligned} B^{'} C^{'} ⊥ A M \\ B^{'} C^{'} ⊥ A A^{'} \end{aligned} \Rightarrow B^{'} C^{'} ⊥ (A M A^{'}) \Rightarrow B^{'} C^{'} ⊥ A^{'} H

.
Lại có

{\begin{aligned} A^{'} H ⊥ A M \\ A^{'} H ⊥ B^{'} C^{'} \end{aligned} \Rightarrow A^{'} H ⊥ (A B^{'} C^{'})

Khi đó

A H = d (A^{'}, (A B^{'} C^{'})) = \frac{A A^{'} . A M}{\sqrt{A {A^{'}}^{2} + A M^{2}}} = \frac{a . a \sqrt{3}}{\sqrt{a^{2} + {(a \sqrt{3})}^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.

Đáp án D.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều...