Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $2a$, cạnh bên bằng $a$. Tìm khoảng cách từ điểm ${A}'$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$
A. $\dfrac{\sqrt{3}a}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{21}a}{14}$.
C. $\dfrac{\sqrt{21}a}{7}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC\Rightarrow AM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên $AM$.
Có: $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'{C}'\bot AM \\
& {B}'{C}'\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {B}'{C}'\bot \left( AM{A}' \right)\Rightarrow {B}'{C}'\bot {A}'H$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& {A}'H\bot AM \\
& {A}'H\bot {B}'{C}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'H\bot \left( A{B}'{C}' \right)$
Khi đó $AH=d\left( {A}',\left( A{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{A{A}'.AM}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}a}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{21}a}{14}$.
C. $\dfrac{\sqrt{21}a}{7}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên $AM$.
Có: $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'{C}'\bot AM \\
& {B}'{C}'\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {B}'{C}'\bot \left( AM{A}' \right)\Rightarrow {B}'{C}'\bot {A}'H$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& {A}'H\bot AM \\
& {A}'H\bot {B}'{C}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'H\bot \left( A{B}'{C}' \right)$
Khi đó $AH=d\left( {A}',\left( A{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{A{A}'.AM}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D.