Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, cạnh
$BC=2a\sqrt{2}$. Góc giữa mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính thể tích khối lăng trụ.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $4{{a}^{3}}$.
$\Delta ABC$ vuông cân tại $A$, cạnh $BC=2a\sqrt{2}$ nên $AB=AC=2a$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $AM\bot BC\Rightarrow AM\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$ và $AM=a\sqrt{2}$.
Hạ $AH\bot {B}'C$, ta dễ dàng có ${B}'C\bot \left( AHM \right)$ nên góc giữa mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng góc $\widehat{AHM}$ và bằng $60{}^\circ $.
Vậy ta có $HM=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Hạ $BK\bot {B}'C$ thì $BK=2HM=\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Xét tam giác vuông ${B}'BC$ có $BK$ là đường cao nên $\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}=\dfrac{3}{8{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$.
Vậy $B{B}'=2a$..
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=B{B}'.{{S}_{ABC}}=2a.\dfrac{1}{2}{{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{3}}$.
$BC=2a\sqrt{2}$. Góc giữa mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính thể tích khối lăng trụ.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $4{{a}^{3}}$.
Hạ $AH\bot {B}'C$, ta dễ dàng có ${B}'C\bot \left( AHM \right)$ nên góc giữa mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng góc $\widehat{AHM}$ và bằng $60{}^\circ $.
Vậy ta có $HM=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Hạ $BK\bot {B}'C$ thì $BK=2HM=\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Xét tam giác vuông ${B}'BC$ có $BK$ là đường cao nên $\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}=\dfrac{3}{8{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$.
Vậy $B{B}'=2a$..
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=B{B}'.{{S}_{ABC}}=2a.\dfrac{1}{2}{{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{3}}$.
Đáp án D.