Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông tại A. $AC=a,\widehat{ACB}=60{}^\circ $. Đường thẳng $B{C}'$ tạo với mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ một góc $30{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AC \\
& AB\bot \text{A{A}'} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( A{A}'{C}'C \right)$
Do đó $\left( B{C}',\left( A{A}'{C}'C \right) \right)=\left( B{C}',A{C}' \right)=\widehat{A{C}'B}=30{}^\circ $
$AB=AC.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3};\ A{C}'=\cot 30{}^\circ .AB=3a$ ;
suy ra $C{C}'=\sqrt{A{{{{C}'}}^{2}}-A{{C}^{2}}}=2a\sqrt{2}$.
Thể tích lăng trụ là $V=2a\sqrt{2}.\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}={{a}^{3}}\sqrt{6}$.
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AC \\
& AB\bot \text{A{A}'} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( A{A}'{C}'C \right)$
Do đó $\left( B{C}',\left( A{A}'{C}'C \right) \right)=\left( B{C}',A{C}' \right)=\widehat{A{C}'B}=30{}^\circ $
$AB=AC.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3};\ A{C}'=\cot 30{}^\circ .AB=3a$ ;
suy ra $C{C}'=\sqrt{A{{{{C}'}}^{2}}-A{{C}^{2}}}=2a\sqrt{2}$.
Thể tích lăng trụ là $V=2a\sqrt{2}.\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}={{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Đáp án B.