Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ tam giác vuông cân tại $A,AB=a,A{A}'=a\sqrt{2}.$ Gọi $M$ là trung điểm $BC.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và ${B}'C$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}a}{4}$.
D. $\sqrt{2}a$.
Hạ $MH\bot {B}'C$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& AM\bot B{B}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\Leftrightarrow AM\bot MH$
Nên: $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot MH \\
& {B}'C\bot MH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( AM,{B}'C \right)=MH$
Có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AM=CM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Và: $C{B}'=\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a$
Do $\Delta CMH$ đồng dạng $\Delta C{B}'B$ nên: $\dfrac{MH}{B{B}'}=\dfrac{CM}{C{B}'}\Rightarrow MH=\dfrac{CM.B{B}'}{C{B}'}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}}{2a}=\dfrac{a}{2}$
Vậy: $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a}{2}.$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}a}{4}$.
D. $\sqrt{2}a$.
& AM\bot BC \\
& AM\bot B{B}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\Leftrightarrow AM\bot MH$
Nên: $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot MH \\
& {B}'C\bot MH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( AM,{B}'C \right)=MH$
Có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AM=CM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Và: $C{B}'=\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a$
Do $\Delta CMH$ đồng dạng $\Delta C{B}'B$ nên: $\dfrac{MH}{B{B}'}=\dfrac{CM}{C{B}'}\Rightarrow MH=\dfrac{CM.B{B}'}{C{B}'}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}}{2a}=\dfrac{a}{2}$
Vậy: $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a}{2}.$.
Đáp án A.