Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $, cạnh $BC=a$, đường chéo $A{B}'$ của mặt bên $\left( AB{B}'{A}' \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ một góc 30. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
B. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{ABC}=60{}^\circ ;BC=a$, suy ra $AC=BC\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Khi đó: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AC.BC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác: $AC\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$ suy ra góc giữa $A{B}'$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ là $\widehat{A{B}'C}=30{}^\circ $.
Tam giác $A{B}'C$ vuông tại C có $\widehat{A{B}'C}=30{}^\circ $ ; $AC=a\sqrt{3}$ suy ra ${B}'C=\dfrac{AC}{\tan 30{}^\circ }=3a$.
Tam giác $B{B}'C$ vuông tại B có $BC=a;{B}'C=3a\Rightarrow B{B}'=2\sqrt{2}a$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.B{B}'={{a}^{3}}\sqrt{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
B. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{ABC}=60{}^\circ ;BC=a$, suy ra $AC=BC\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Khi đó: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AC.BC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác: $AC\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$ suy ra góc giữa $A{B}'$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ là $\widehat{A{B}'C}=30{}^\circ $.
Tam giác $A{B}'C$ vuông tại C có $\widehat{A{B}'C}=30{}^\circ $ ; $AC=a\sqrt{3}$ suy ra ${B}'C=\dfrac{AC}{\tan 30{}^\circ }=3a$.
Tam giác $B{B}'C$ vuông tại B có $BC=a;{B}'C=3a\Rightarrow B{B}'=2\sqrt{2}a$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.B{B}'={{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Đáp án B.