Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$ và $\left( {A}'BC \right)$ hợp với mặt đáy $ABC$ một góc $30{}^\circ $. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\left\{ \begin{matrix}
BC\bot A{A}' \\
BC\bot AM \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow BC\bot \left( {A}'MA \right)\Rightarrow BC\bot {A}'M$.
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{{A}'MA}=30{}^\circ $. Vì $AB=a\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. $\Rightarrow \tan \widehat{{A}'MA}=\dfrac{A{A}'}{AM}\Rightarrow A{A}'=\tan \widehat{{A}'BA}.AM=\tan 30{}^\circ .\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{2}$. Vậy thể tích của $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là:
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\left\{ \begin{matrix}
BC\bot A{A}' \\
BC\bot AM \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow BC\bot \left( {A}'MA \right)\Rightarrow BC\bot {A}'M$.
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{{A}'MA}=30{}^\circ $. Vì $AB=a\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. $\Rightarrow \tan \widehat{{A}'MA}=\dfrac{A{A}'}{AM}\Rightarrow A{A}'=\tan \widehat{{A}'BA}.AM=\tan 30{}^\circ .\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{2}$. Vậy thể tích của $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là:
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Đáp án B.