Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ có $AB=a\sqrt{3}$ cạnh bên $A{A}'=3a$ ( tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ là
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{2a}{3}.$
D. $\dfrac{3a}{2}.$
Kẻ $AJ\bot {A}'B \left( 1 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A{A}'B \right)\Rightarrow BC\bot AJ \left( 2 \right)$.
Từ $ \left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow AJ\bot \left( {A}'BC \right)$
Vậy $d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AJ=$ $\dfrac{A{A}'.AB}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\dfrac{3a.a\sqrt{3}}{\sqrt{9{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}=\dfrac{3}{2}a$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{2a}{3}.$
D. $\dfrac{3a}{2}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A{A}'B \right)\Rightarrow BC\bot AJ \left( 2 \right)$.
Từ $ \left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow AJ\bot \left( {A}'BC \right)$
Vậy $d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AJ=$ $\dfrac{A{A}'.AB}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\dfrac{3a.a\sqrt{3}}{\sqrt{9{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}=\dfrac{3}{2}a$.
Đáp án D.